Les groupes

[Vlad-Drac]

Bonjour
Soit G un ensemble muni d'une loi de composition interne (x; y) -> xy
associative, avec element neutre a gauche e (i.e. ex = x pour tout x 2 G) et telle que
tout element de G possede un inverse a gauche (i.e. pour tout x 2 G, il existe y 2 G tel
que yx = 1). Montrer que G est un groupe.

alors je pense qu'il suffit de montrer que pour tout element de G on a un element neutre a droite et un inverse a droite...
on a

pour l'inverse:
pour tout x de G:
yx = 1,
xyx=x
xy xy =xy
=> xy=e
et donc y est un inverse a droite pour x

pour le neutre :
ex=x
ex(x^-1)=x(x^-1)
e=1 en utilisant ce que j'ai dit juste avant
et donc ex=xe=x

est ce correct ?
merci

[Elias]

Salut,

C'est quoi ce "1" ??
Tu fais comme ci G possédait un élément neutre (que tu appelles 1), alors qu'on suppose simplement l'existence d'un élément e tel que ex=x pour tout x dans G (existence d'un élément neutre à gauche et non pas d'un élément neutre tout court).
Et puis, quand on suppose que tout élément possède un inverse à gauche, je pense que ça veut dire "pour tout x dans G, il existe y dans G tel que yx=e" avec le e qui a été fraîchement défini plus haut et non ce "1" qui sort de nul part.

Dans ta preuve, y'a un problème déjà à la première ligne car meme si on remplace ce "1" par "e", tu multiplies par x à gauche directement, ce qui donne xe que tu simplifies directement par x (alors qu'on sait juste que ex=x et non xe=x).

On peut commencer par montrer que si jamais x,y sont deux éléments de G vérifiant xy=e, alors on a aussi yx=e. (*)

Pour ce faire: on note x' l'inverse à gauche de x:
x'x= e

On a alors: yx = e (yx) = (x'x) (yx) = x' (xy) x= x' (e) x = x' (ex) = x'x = e

Maintenant, ça permet de montrer l'existence d'un "vrai" élément neutre (à gauche et à droite).
Si x est dans G, on sait seulement que ex=e.
Mais on a aussi: xe = x(x'x) = (xx') x = ex = x.
Le fait que xx' = e résulte du fait que x'x=e et la remarque (*).


La remarque (*) permet alors aussi de montrer l'existence d'un inverse à droitepour tout élément de G.

[Vlad-Drac]

Merci pour ta reponse.
j'ai bien compris ta demonstration neanmoins je ne comprend pas ce qui te choque dans la mienne ?
dans l'ennoncé on dit bien que yx=1 (ou y est l'inverse de x)
je peut donc bien simplifier (x^-1)x par 1...
et meme ma 1ere ligne je part de l'enoncé yx=1 en multipliant par x a gauche xyx=x*1=x

[Ben314]

Salut.

et meme ma 1ere ligne je part de l'enoncé yx=1 en multipliant par x a gauche xyx=x*1=x

Bis et répéta : ben non, tu peut pas vu que rien ne dit que x*1 ça fait x.
Tout ce que l'exo te donne, c'est un élément (et pas 1) qui est neutre à gauche donc tel que, pour tout x, on ait e*x=x (ou si tu préfère 1*x=x si tu décide de noter "" à la place de "") mais absolument rien ne dit que x*e=x (ou si tu préfère que x*1=x)

[Vlad-Drac]

Ok cest bon j'ai capté, j'avais deja integré que x*e = x etait interdit mais le yx=1 de l'énoncé m'a embrouillé "x fois 1 egale x " ce qui est faut evidement cest mieu si on lit "x etoile 1" ^^
mais dans l'énoncé ducoup ca devrait etre yx=e je ne sais pas pourquoi ils prennent égale à 1 bref
merci bcp en tout cas