Les exposants et la fractale "Triangle de Sierpinsky"

[Axyk]

Bonjour,
(Ma question arrivera à la fin de mon explication)
Je me suis intéressé à comment je pouvais, pour x^(n) où x est un nombre entier positif, et n un entier >= 0, comment le traduire sous la forme x^(n) = (x - a)^(n) + ... où a est un entier positif plus petit que x.
Ainsi, par exemple, pour n = 2, on peut avoir 16² = 15² + ... (qui d'après les valeurs plus bas, donnerait 16² = 15² + 2*15 + 1 = 225 + 30 + 1 = 256. | ou encore 16² = 10² + 2*6*10 + 6² = 100 + 120 + 36 = 256.
J'ai établi un tableau des différents résultats pour chaque n donné suivant :
(vous pouvez développer chaque partie et verrez que vous finirez avec x^(k) = x^(k), ça se clarifie en développant mais la magie disparait avec)
n = 0 : x^(0) = 1
n = 1 : x^(1) = 1 (x - a) + 1 a
n = 2 : x^(2) = 1 (x-a)^(2) + 2a(x-a) + a^(2) *1
n = 3 : x^(3) = 1 (x-a)^(3) + 3a(x-a)^(2) + 3a^(2) * (x-a) + a^(3) *1
n = 4 : x^(4) = 1 (x-a)^(4) + 4a(x-a)^(3) + 6a^(2) * (x-a)^(2) + 4a^(3) * (x-a) + a^(4) *1
n = 5 : x^(5) = 1 (x-a)^(5) + 5a(x-a)^(4) + 10a^(2) * (x-a)^(3) + 10a^(3) * (x-a)^(2) + 5a^(4) * (x-a) + a^(5) *1

J'ai mis en rouge ce que je veux mettre en évidence ici : on a le début du triangle de Sierpinsky !!!
Je n'arrive pas à comprendre comment cela se fait, si cela est vrai pour tout n par exemple ? J'aimerai une explication de pourquoi j'obtiens un tel résultat, s'il y a une raison derrière ou si c'est un simple hasard mais je n'en ai pas l'impression... Merci pour vos réponses !

[Ben314]

Salut,
Les nombres que tu as mis en rouge sont bien connus depuis longtemps (*) et en général appelés "coefficients binomiaux" (plutôt que "élément du triangle de Sierpinsky") et la formule en question donnant le développement de est souvent nommée "formule du binôme de Newton".

Et concernant la preuve de la formule, tout dépend de la définition que du prend de ces fameux "coefficients binomiaux" (certains auteurs prennent directement comme définition que ce sont les coeffs. du développement en question donc il n'y a rien à démontrer). Mais quelque soit la définition choisie, une preuve systématiquement élémentaire est évidement une simple récurrence sur consistant à écrire que .

(*) Au minimum l'ingénieur persan Al-Karijí vers l’an 1000 voir même bien avant en Chine.