Les espaces compacts

[Simpi]

Bonjour, j'ai besoin de piste pour traiter ce exo:
1) Démontrer que dans un espace séparé tout sous ensemble compact est fermé

2) soit un espace localement compact, , . On definit
avec un compact de . Montrer que est un espace topologique dont est un sous espace.

3) Montrer que est séparé

4) Soit un recouvrement de . Montrer qu'il existe tel que
ou est un compact de et en deduire que est compact.
vraiment je n'ai aucune idée pour demarrer.Besoin de piste

[alm]

Salut
Indication pour la premiére question:
Soit une telle partie compacte de . Tu as à montrer que si est un élément de tel que alors il existe un ouvert de tel que et .
Pour cela, en vertu du fait que est séparé, tu considères un élément quelconque de et tu le sépares avec : il existe et ouverts disjoints tel que et et
Que peut on dire de la famille ?
Qu'on déduit on en vertu de la compacité de ?
Essaye de detecter l'ouvert que tu cherches (pense à une intersection finie d'ouverts auquels appartient )

[Simpi]

Donc en clair on doit montrer que le complementaire de est ouvert.
On peut donc dire que la famille un recouvrement ouvert de maintenant comme on peut extraire un recouvrement fini que je dirai . Donc si je considere
c'est un ouvert. Donc c'est un ouvert du complementaire de donc le complementaire de est un voisinage de donc un ouvert.
conclusion est fermé

[alm]

Parfait. Passons à la seconde question, que dois tu démontrer ?

[Robot]

La définition de ne va pas. C'est vraisemblablement

[Simpi]

Oui, Robot a raison j'ai fait une erreur. La définition de est bel et bien ce que Robot a donné.
pour la deuxieme question on me demande de montrer que
est un espace topologique dont est un sous espace.
ce que je vois:
d'abord est un ensemble, je vais montrer que est une topologie sur .
On a car est une topologie donc contient
ensuite
car qui appartient à
pour les stabilités j'ai du mal à les etablir

[alm]

ensuite car qui appartient à

Je crois que cela ne suffit pas:
Tu as est un compact de
Pour démontrer q'une partie de est un élément de , tu dois prouver que ou qu'il existe un compact de tel que .
Tu fait ça pour si tu veux bien démontrer que

pour les stabilités j'ai du mal à les etablir

Tu considère une famille d'ouverts de et tu partage l'ensemble en deux : et . Tu remarques ensuite que: .
Si tu analyses attentivement les deux termes de cette union, tu arrivera à des bonnes fins, surtout si tu utilises des propriétés relatives à l'intersection d'une famille quelconque de fermés et la nature d'un fermé contenu dans un compact.
Note: Vu que tu en aura besoin par la suite, tu peux essayer d'abord, dans un premier temps, de prouver que si et un compact de alors .
C'est la même démarche pour la stabilité par intersection finie (tu pourra te contenter de deux ouverts).