Les ensembles connexes

[Simpi]

Rebonjour,
On considere:

et

1)Determiner si , et sont ouverts, fermé, compact, connexe

2) Meme question pour , , et

3) Indiquer le nombre de composantes connexes de , de , de , et de .

Mes elements de reponses:
1) les compacts, ouverts et fermé là ca va.
Mon probleme se trouve au niveau des connexes.
d'apres la definition on dit qu'une partie de est connexe si elle n'admet pas de partition en deux ouverts ou deux fermé. Donc si j'arrive à montrer qu'une partie admet une partition en deux ouverts ou en deux fermés alors la partie n'est pas connexe.
si je prend le
je pose alors
et
on a et donc et
forme une partition de donc n'est pas connexe. Est ce que je suis la bonne voie?

[Ben314]

Salut,
Non, tu n'es pas du tout sur la bonne voie (en particulier du fait que D est connexe).
Fait un dessin et tu verra clairement que n'est pas du tout égal au disque D (en fait on n'a ni , ni )
Sans parler du fait que, pour qu'une telle partition prouve que D n'est pas connexe, il faudrait que D1 et D2 soient tout les deux des ouverts de D et que ce n'est absolument pas le cas...

Sinon, as-tu vu la notion d'espace "connexe par arc" ?
Celle de partie "convexe" d'un espace affine (ou vectoriel) ?
Si oui, c'est le(s) truc(s) à utiliser pour montrer que D est connexe (en une ligne).

[capitaine nuggets]

Salut !

Ce qu'il faut savoir c'est qu'intuitivement, dire qu'un ensemble est connexe signifie qu'il est d'un seul morceau.
Ici, est en fait la boule unité fermée de donc il y a gros à parier que est connexe.
Ca se comprend bien je trouve avec la définition :
D est connexe si et seulement si quels que soient deux ouverts et disjoints de , on a : " implique ou (exclusif) ".

Autrement dit, les guillemets signifient que si la réunion de deux ouverts disjoints recouvre , alors c'est que est soit contenu dans soit dans mais pas les deux.

[Simpi]

Ok merci vos reponses:
On a vu la notion de connexité par arc mais pas detaillé. On a juste dire qu'un espace topologique est connexe par arc si deux points quelconques peuvent toujours etre relié par un chemin.
oui vous avez raison mes deux ensembles ne forment pas une partition de D.
comment puis-je justifier la connexite par arc de D?

[Ben314]

A ton avis, est-il besoin de faire un chemin "super compliqué" pour relier deux points contenus d'un disque (en restant dans le disque bien sûr) ?

[Simpi]

je vois, dans un disque si je prend deux points et , ses deux points sont reliés par un segment et qui seront à l'extremité l'un et l'autre. donc je peux definir la fonction:

par .
donc est connexe par arc, donc connexe.
pour j'ai fait un dessin et j'ai vu que pour deux points dans on peut trouver un chemin qui les relis.
comment trouver l'application? car j'ai vu que ca pouvait etre une courbe, une droite etc

[Ben314]

Pour le disque D, c'est bon (peut être faut-il faire une preuve "carrée carrée" que, pour tout t dans [0,1], le point (1-t)x+ty est dans D, mais graphiquement parlant, c'est trivial)

Concernant , je m'empresserais d'écrire que et d'utiliser le fait (facile à démontrer et éventuellement déjà vu) que, si deux sous-espaces sont connexes et d'intersection non vide, alors leur réunion est connexe.
Le même résultat est aussi valable (et encore plus facile à démontrer) si on remplace "connexe" par "connexe par arc".

[Simpi]

je vois maintenant puisque dans les intervalles sont connexes, donc
ce qui implique que est connexe. de meme pour .
Il reste maintenant pour . j'ai besoin de piste

[Ben314]

Pour tout ces truc "graphiquement simples", LE truc à faire, c'est évidement un dessin.
As tu représenté L ?
Si oui, que conjecture tu ? (et quand je dit "conjecture", c'est normalement une certitude...)
Comment démontrer la conjecture de façon "carrée carrée" ?

[Simpi]

oui j'ai representé et je constate que n'est pas connexe.
Démontrer de "facon carréé carréé" qu'est ce que ca signifie?

[Ben314]

Démontrer de "facon carréé carréé" qu'est ce que ca signifie?

Ca veut dire écrire autre chose que "je l'ai constaté en faisant le dessin"...
Plus précisément, ça veut dire trouver une partition de L formée de deux ouverts de L (rappel : un ouvert de L est l'intersection d'un ouvert de R² avec L).
Au vu du dessin, tu voit pas quoi prendre ? (y'a pas trop le choix vu que L a exactement deux composantes connexes)

[Simpi]

avec la courbe de , il ya deux "je dirai" fermés qui forment une partition de
on a ou et egalement on a
avec les deux ouverts forment une partition de

[Ben314]

"presque", mais pas tout à fait : par exemple le point (1,1) est dans L mais n'est ni dans ton L1, ni dans ton L2.

Perso, j'aurais pris (ça me semble plus simple) et

[Simpi]

Ok, je vais m'inspirer de tout ca pour repondre aux autres questions sur la connexité.
Merci grandement pour votre aide.