j'ai un exercice à faire, j'ai des idées mais je doute de ma première réponse.
Il commence tout d'abord par admettre un théorème:
Soit n >= 1,
E = K^n vu comme K-espace vectoriel.
Soit (X1,..,Xn) une famille de vecteur de E (de cardinal n) alors :
(X1,..Xn) libre (X1,..Xn) génératrice (X1,..Xn) base.
1. Soit {Y1, Y2, Y3} une famille de E qui n'est pas une base et f: ExExE -> K une application trilinéaire alternée. Montrez que f(Y1,Y2,Y3)=0.
Je pense commencer pas dire que si ce n'est pas une base, elle n'est pas génératrice, pas libre et donc liée. Ainsi, il y a au moins 1 de ces éléments qui dépend des 2 autres.
On peut donc écrire que Y1 = aY2 + bY3
ainsi, {Y1, Y2, Y3} = {aY2 + bY3, Y2, Y3}
Après, je ne sais pas comment faire. Peut-on dire :
f(Y1, Y2, Y3) = f(aY2+bY3, Y2, Y3) = a f(Y2, Y2, Y3) + b f(Y3, Y2, Y3) ?!
f étant une application alternée, f(Y2, Y2, Y3) = 0 et f(Y3, Y2, Y3) = 0
donc f(Y1, Y2, Y3) = 0.
Je ne vois pas comment utiliser le fait que c'est une application trilinéaire..
Merci d'avance pour votre aide !
