Lemme de Zorn

[gibran]

Bonjour à vous,

Quelque chose que je ne comprends pas:

Lemme de Zorn: Tout ensemble inductif totalement ordonné non vide possède un élèment maximal.

[0,1[ est une ensemble totalement ordonné (il y a relation d'ordre entre tous les éléments) et inductif (tout sous ensemble de [0,1[ possède un majorant, par exemple 1).

Pourtant, [0,1[ ne possède pas d'éléments maximal ...

Enfin, bref, y a un truc qui m'échappe ... ::

Merci d'avance à ceux qui pourront m'expliquer la nuance ...

[Doraki]

et inductif (tout sous ensemble de [0,1[ possède un majorant, par exemple 1).

1 n'est pas dans [0;1[

[gibran]

Mais un majorant ne doit pas forcément appartenir à l'ensemble,non ?

Je me doute bien que je suis totalement à côté de la plaque, mais j'arrive pas à m'en convaincre ...

[Doraki]

Ben si, sinon ça sert à rien parceque n'importe quel ensemble ordonné est inductif si tu t'autorises à prendre des majorants qui n'existent pas (c'est-à-dire qui ne sont pas eux même dans l'ensemble).

Tu prendrais un ensemble ordonné absolument quelconque (X,<),
tu définis (X union {m}, <) en disant que x < m pour tout x de X,
et pouf ! X est inductif parceque toute chaine croissante admet le majorant m ?

[gibran]

Ok, je crois que j'ai le concept ... [0, 0,4 [ possède un majorant dans [0,1[ (0,5), mais [0,1[ non.

Inductif: toute sous-partie de l'ensemble possède un majorant dans l'ensemble (ce qui parait assez logique au vu de ta remarque ...)

Merci !