Lemme de Cesàro - Suite

[xNiicO]

Bonjour,

J'ai quelques soucis sur un exercice portant sur le lemme de Cesàro.



On dit que converge au sens de Cesàro si la suite converge.

1. Montrer que la suite converge au sens de Cesàro vers une limite que l'on déterminera.

2. Montrer que si convergente vers l alors est également convergente vers l.


Je n'ai même pas de début. Il faut donc que je fasse une étude de limite à l'aide d'espilon de la fonction Un ? Ou alors je dois d'abord faire celle de Cn ?

Je comprends pas tellement ce qu'on me demande.

[Monsieur23]

Aloha,

As-tu fait la première question déjà ?

[Sylviel]

Pour le 1) tu peux calculer directement Cn

Pour le 2 il faudra passer par la définition en epsilon.

[xNiicO]

Je n'ai absolument rien fait, le prof devait nous donner une petite indication, mais visiblement on l'attend encore

Pour la 1, en réfléchissant un peu je me suis dit ça :



Mais là je suis bloqué dans ma démarche, car je sais tout simplement pas trop quoi faire

[Monsieur23]

Tu peux calculer explicitement la somme ! (Regarde pour n=1,2,3,4…)

[xNiicO]

Tu peux calculer explicitement la somme ! (Regarde pour n=1,2,3,4…)

Ouais mais pour la somme, elle vaut pas quelque soit le n, pair ou impair, les termes avant donc s'annule donc il reste seulement ?

[Monsieur23]

Ça dépend de la parité de n :

Si n est impair, la somme vaut -1.
Si n est pair, elle vaut 0.

[xNiicO]

Ça dépend de la parité de n :

Si n est impair, la somme vaut -1.
Si n est pair, elle vaut 0.

On peut conclure que si n est pair, la limite vaut 0 pour un n très grand.
Et pour n impair, la limite est aussi nul car quand n tend vers +inf, -1/n tend vers 0.

Donc pour tout alors la limite est 0. Alors la suite converge au sens de Cesàro (Car on a utilisé à la base Cn comme style de suite).

Si je fais pas d'erreurs c'est ça.

[Sylviel]

Oui c'est bien ça, tu as montré que Cn tendait vers 0.

Maintenant suppose que tu as une suite Un positive qui tends vers 0.
Pose epsilon >0, et montre que pour n>N (à déterminer), Cn < epsilon.
Tu en déduiras que Cn tends vers 0.

Puis tu étends à une suite quelconque convergeant vers l.

[xNiicO]

Oui c'est bien ça, tu as montré que Cn tendait vers 0.

Maintenant suppose que tu as une suite Un positive qui tends vers 0.
Pose epsilon >0, et montre que pour n>N (à déterminer), Cn < epsilon.
Tu en déduiras que Cn tends vers 0.

Puis tu étends à une suite quelconque convergeant vers l.

Si j'ai bien compris c'est pour la deuxième question.

Mais on m'avait parlé d'une sorte de moyenne. Que dans la somme elle se découpé en deux sommes, enfin j'avais pas trop compris et ça s'utilise dans la définition d'une limite à l'aide d'epsilon.

[Sylviel]

Oui il faudra découper en deux ta somme.
En effet au bout d'un moment (disons a partir de n0) les un seront petits, plus petit que epsilon. Du coup tu fais deux sommes
une de taille finie avec les un avant n0, et l'autre avec des un petits. Je te laisse écrire tout ça et essayer de manipuler un peu...

[deltab]

Bonjour

xNiicO
Mais on m'avait parlé d'une sorte de moyenne.

n'est-elle pas une moyenne arithmétique?

[xNiicO]

J'ai essayé de chercher correctement mais je suis encore bloqué, surement un problème de logique.

On a supposé que la suite Un était convergente et ça limite est 0.

On applique la définition pour tout espilon positif, et ond toi chercher ça :



Donc





Puis maintenant je sais même plus quoi faire. Il doit me manquer un petit truc pour conclure :p

On peut aussi noter comme une suite pour alléger je pense la notation donc on notera et on peut rajouter que cette somme à pas une infinité de termes, donc je sais pas si on peut dire que la limite de Vn tend vers 0.

J'ai mit les barres de valeurs absolues :

[Monsieur23]

Ok, ça c'est bien ! Ensuite :
— ta première somme tend vers 0, donc à partir d'un certain rang, est plus petit que e.
— dans ta deuxième somme, chacun des |Uk - l| est plus petit que e, donc la somme aussi (à facteur près)

[xNiicO]

Ok, ça c'est bien ! Ensuite :
— ta première somme tend vers 0, donc à partir d'un certain rang, est plus petit que e.
— dans ta deuxième somme, chacun des |Uk - l| est plus petit que e, donc la somme aussi (à facteur près)

C'est à partir de ça que je comprends pas.

On dit que |Uk - l| est plus petit que e. Mais ça comment on peut le savoir ? Du fait de notre supposition du début ?

Mais est-ce qu'on peut dire que

[Monsieur23]

C'est à partir de ça que je comprends pas.

On dit que |Uk - l| est plus petit que e. Mais ça comment on peut le savoir ? Du fait de notre supposition du début ?

Comment tu as trouvé le n0 ?

Mais est-ce qu'on peut dire que

Pourquoi on aurait ça ?

[Sylviel]

Pour info je t'avais recommandé de commencer par montrer le résultat pour une suite de nombres Un positifs tendant vers 0.

[xNiicO]

Pour trouver n0 c'est Sylviel qui m'a aiguillé, en coupant la somme en deux.

En fait je sais à quoi aboutir, mais comme ça rentre dans une partie de cours que j'ai pas vu à proprement parlé mais survolé, j'ai un peu de mal à comprendre la fin du raisonnement pour conclure.

Pour moi j'en suis resté ici :

— ta première somme tend vers 0, donc à partir d'un certain rang, est plus petit que e.
— dans ta deuxième somme, chacun des |Uk - l| est plus petit que e, donc la somme aussi (à facteur près)

Mais pour le second point, si pour un rang quelconque de k, enfin un

la limite de la somme va tendre vers 0 non ? vu que n deviendra de plus en plus grand.

[Ben314]

Bon, je m'y lance moi aussi (je pense que je ne vais faire que répéter ce qui a déjà été dit...)

On suppose dans l'hypothèse que Un tend vers L, ce qui signifie que, quelque soit epsilon>0, à partir d'un certain rang No (dépendant bien sûr de epsilon), tout les Un sont proche de L à moins de epsilon prés.
Tu coupe alors ta somme Cn (dépendant de n) en deux :
1) La somme des Uk de k=1 à No-1 est une constante (i.e. ne dépend pas de n mais seulement de No) donc lorsque l'on divise cette somme par n et que l'on fait tendre n vers l'infini, ce morceaux là tend vers 0 : en particulier, il est inférieur (en valeur absolue) à epsilon pour n assez grand (y'a qu'à dire pour n>N1)
2) Dans la somme des Uk de k=No à n (en supposant évidement que n>No) tout les termes sont proche de L à moins de epsilon prés. Comme il y a (n-No) termes, la somme est proche de (n-No)L à moins de (n-No)epsilon prés et, en divisant par n, le résulata est proche de (n-No)/n.L à moins de (n-No)/n.epsilon prés. Or (n-No)/n tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini donc le résultat de la division par n est proche de 1.L à moins de 2.epsilon prés pour n assez grand (y'a qu'à dire pour n>N2)

Donc lorsque n est plus grand que N1 et que N2, Cn est proche de L à moins de 3.epsilon prés.
CQFD

[xNiicO]

1) La somme des Uk de k=1 à No-1 est une constante

Est-ce grave si on s'arrête à N0 ? et pas N0 - 1. Mais notre seconde somme est sur la continuité donc dans mon cas on commence à la seconde somme à N0+1.

Il y a pas de différence ? A mon avis ça revient quasiment au même.

Sinon ça me parait clair, mais si on trouve à 3 epsilon prés, il faut partir au début sur :



Pour qu'a la fin on puisse conclure correctement non ?

Mais je pense avoir compris quand même, ce que je trouve dans la méthode avec epsilon c'est que j'ai l'impression de tourner en rond et de rien prouver, si vous auriez un petit lien d'explication sur la méthode ça serait pas de refus.