Lemme du berger ?

[ptit_andrea65]

Bonsoir à tous !!!
je bloque de nouveau pour mon DM

Soit E un ensemble . On rappelle qu'une partition de E est un sous ensemble { A_1,...,A_k} de P(E) tel que A_1U...UA_k=E pour tout i de [1,k], A_i différent de ø et pour tout couple (i,j) de [1,k] ^2 tel que i différent de j, A_iUA_j = ø. Le nombre k est le nombre de parts de la partition.

On note S(n,k) le nombre de partitions en k parts de l'ensemble [1,n]

1. (a) Montrer que l'application qui à une surjection f de ƒ associe l'ensemble de ses images réciproques [t]{f^(-1)({1}),...,f^(-1)({k})} définit une surjection de l'ensemble S; des surjections de [1,n] en k parts
(b) En déduire que CardS; = k!.S(n,k).

2. (a) En classant les partitions selon que le singleton {n} en est une part ou non, montrer que pour tout entier n >0 , k >0 :
S(n,k) = S(n-1,k-1) + k.S(n-1,k)
(b) Que vaut S(n,0) ? S(n,n) ? Calculer (8,5). Quel est le nombre de surjections de [1,8] dans [1,5]

1(a) Dois je me servir de la définition de la surjection ? Démontrer q'uil existe x de [1,n] sur [1,k] quelquesoit y dans S ? Comment démontrer une existence ? (b) je dois me servir du lemme du berger mais comment ... Card S est l'ensemble de départ et S(n,k) l'ensemble d'arrivée ?
2(a) Je tente de le démontrer par récurrence mais je me noie dans mes calculs etje n'arrive pas à mes finsà.
2(b) Phase calculatoire qui ne me pose pas de problèmes j'applique la formule nombre de surjections = n!x (n-1)/2. De plus , on utilise les résultats démontrés précédents ..


MERCI BEAUCOUP POUR VOS CONSEILS QUI ME SERONT D'UNE AIDE PRÉCIEUSE !!!