Langage des catégories

[Judoboy]

Re-plop, j'ai un prof d'algèbre bordélique au possible qui nous fait un cours affreux (c'est censé être sur les modules et la théorie de Galois je crois).

On comprenait déjà pas de quoi il parlait mais récemment il s'est mis à utiliser le langage des catégories sans crier gare et sans définir ce que c'était, ça devient un cauchemar.

Je cherche un âme charitable prête à me fournir toute sorte d'aide, documentation, bouquins, conseils etc. pour comprendre un peu de quoi ça parle (surtout des doncs/cours bien faits en fait, c'est introuvable en bibliothèque).

Merci d'avance.

[Luc]

Salut,

comme souvent, le site de la prépa agreg rennaise de Cachan est une mine d'or :
http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/agreg.pdf

regarde le poly de B. le Stum : Compléments d'Algèbre et de Géométrie.

[Nightmare]

Hello,

je suis loin d'être calé en théorie des catégories et n'ais pas de bonnes références en tête. Néanmoins j'aime beaucoup cette branche et si tu as des questions à poser n'hésite pas, c'est avec plaisir que je me replongerai dedans.

Edit : A si, j'ai un exemple de bon bouquin qui parle des catégories : L'Algèbre de S. Lang.
Par contre, il ne réserve qu'un sous-chapitre à cette théorie et l'applique principalement au cas des groupes. Mais ça reste une bon départ.

[Judoboy]

Hello,

je suis loin d'être calé en théorie des catégories et n'ais pas de bonnes références en tête. Néanmoins j'aime beaucoup cette branche et si tu as des questions à poser n'hésite pas, c'est avec plaisir que je me replongerai dedans.

Edit : A si, j'ai un exemple de bon bouquin qui parle des catégories : L'Algèbre de S. Lang.
Par contre, il ne réserve qu'un sous-chapitre à cette théorie et l'applique principalement au cas des groupes. Mais ça reste une bon départ.

Ok, première question : à quoi ça sert ?

[Nightmare]

Je ne saurai aller jusqu'au coeur de son utilisation, mais au premier contact la théorie des catégorie est une théorie de fondements, au même titre que la logique ou la théorie des ensembles.

Elle permet de définir et d'unifier proprement les structures telles qu'on les connait. Au même titre que dans la théorie des ensembles, " tout est ensemble", dans la théorie des catégories, tout est une histoire de flèches et de foncteurs.

Comme j'ai peur de noyer le poisson, j'ai cherché de la bonne lecture introductrice, je crois que j'ai trouvé notre "Graal". Le livre [url="http://www.amazon.com/Conceptual-Mathematics-First-Introduction-Categories/dp/052171916X"]Conceptual Mathematics[/url] est conseillé sur de nombreux fora pour les néophytes en théorie des catégories.

Avec un peu de recherche, je l'ai trouvé en version numérique DJVU, le [url="http://depositfiles.com/files/vqiih009s"]voici[/url]

[Judoboy]

Heuuuupe
Plusieurs questions en fait :

1)
Je suis en train de lire le document de Luc (j'ai pas trop eu le temps de me plonger là-dedans avant) ; dès le début ça dit "On parlera ci dessous de collections qui ne forment pas nécessairement des ensembles
mais on utilisera tout de même les notations habituelles de la théorie des ensembles."

Et régulièrement on utilise des relations d'appartenance ou d'inclusion. Il me semblait que justement le but des catégories c'était de remédier au fait que certaines collections d'objets n'étaient pas des ensembles , si dès le début on considère que nos collections sont des ensembles ça perd un peu de son intérêt non ?

2) Concrètement, la flèche de X dans Y (un morphisme de X dans Y quoi) comment on détermine les propriétés que ça doit avoir ? En gros ça transpose la structure mais si on me donne par exemple la catégorie des anneaux, comment je justifie que les flèches c'est les morphismes d'anneaux ?



Enfin je cherchai juste à up le fil parce que j'avoue que je vois pas bien où ça veut en venir donc je risque d'avoir pas mal de questions à poser prochainement, stay tuned :D


Au fait Nightmare, désolé mais lire les maths en anglais ça me donne trop mal au crâne :(

[Nightmare]

Salut,

pour la 1) c'est beaucoup plus compliqué qu'une histoire de remédier à la théorie des ensembles. En soit, la théorie des catégories, c'est une théorie des ensembles. Ce n'est pas la théorie de ZF, ça ne se déduit pas de ZF mais c'est une autre sorte de théorie des ensembles. Je te propose [url="http://www.emis.de/journals/BAMV/conten/vol9/jeanyves.pdf"]cette lecture[/url] (en français :lol3: ) qui en dira beaucoup plus que moi à cette heure sur le sujet (je ne l'ai pas relu depuis un moment, mais de mémoire c'est très abstrait comme lecture!)

2) Ce n'est pas parce qu'on est dans la catégorie des anneaux que les flèches sont les morphismes d'anneaux mais parce que les flèches sont les morphismes d'anneaux qu'on appelle ça catégorie des anneaux.

En d'autre terme, c'est aussi la donnée des flèches qui fixe la catégorie. Si tu décides que les flèches soient d'autre applications entre les anneaux, tu crées une autre catégorie. Par exemple, on peut très bien munir les anneaux des morphismes de groupes, mais ça n'a aucun intérêt.

Si tu prends les ensembles par exemple, alors les flèches pourraient être les fonctions, mais on a aussi les relations binaires. En fait, les flèches n'ont aucune raison d'être des fonctions.

Par exemple si tu prends un ensemble muni d'une loi, on peut naturellement identifier les éléments à des flèches et la composition des flèches étant la loi elle même.

Il est tard, je développerai un peu tout ça demain.

[Doraki]

Le but de la théorie des catégories n'est pas DU TOUT de remédier au problème qu'il y ait des collections d'ensembles qui ne sont pas des ensembles. Pour ça il y a d'autres théorie que je connais pas tellement.

Le but de la théorie des catégories est de mettre l'accent sur les relations entre les objets plutot que sur les objets eux-même.

Une catégorie, c'est la donnée d'un ensemble d'objets, pour toute paire d'objets X et Y, un ensemble Hom(X,Y) (l'ensemble des flèches de X dans Y), et d'une opération de composition de flèches : °(x,y,z) : Hom(X,Y) * Hom(Y,Z) -> Hom(X,Z). Et tu rajoutes deux trois axiomes : l'existence et l'unicité d'un morphisme "identité de X" dans Hom(X,X), qui est "élément neutre pour la composition", et l'associativité de la composition.
Les propriétés des flèches font donc partie de la définition de la catégorie. Quand on dit "catégorie des anneaux" on pense "la catégorie dont les objets sont les anneaux et les flèches de X vers Y sont les morphismes d'anneaux de X dans Y et où la composition de flèches correspond à la composition de fonctions et où la flèche identité de X dans X correspond au morphisme identité" (une définition très très surprenante, n'est-ce pas)

Les flèches correspondent souvent à des applications naturelles entre les ensembles correspondants aux objets mais ce n'est pas toujours le cas. (bon en fait on peut associer à chaque objet un ensemble de sorte que les flèches correspondent à des fonctions mais c'est plutôt artificiel et n'aide pas forcément à la compréhension)

Par exemple tu peux considérer la catégorie {0,1,2,3,...} où Hom(n,m) est un singleton lorsque m est multiple de n, et est vide sinon (c'est une catégorie qui sert par exemple à construire le complété profini de Z quand t'auras vu les limites projectives).
Ou bien la catégorie opposée à la catégorie des anneaux : les objets sont les anneaux et les flèches de X vers Y sont les morphismes d'anneaux de Y vers X.

[Judoboy]

Le but de la théorie des catégories n'est pas DU TOUT de remédier au problème qu'il y ait des collections d'ensembles qui ne sont pas des ensembles. Pour ça il y a d'autres théorie que je connais pas tellement.

Ok ok c'est pas moi qui l'ai inventé je l'ai lu je sais plus où, j'oublie ça alors.

Sinon ça a peut-être aucun sens comme question mais comment on définit la relation d'égalité entre 2 morphismes, puisque si j'ai bien compris on n'explicite jamais rien ?

[Doraki]

Ben c'est la relation d'égalité dans les ensembles Hom(X,Y). Si ça peut te faire plaisir, dans le cas où les objets de ta catégorie sont des ensembles et si Hom(X,Y) est un ensemble de fonctions de X vers Y, tu peux dire f=g <=> pour tout x de X, f(x) = g(x)