Lancés de dé

[Anonyme]

Impressionné alpha ! Du tres bon travail : clair et precis, cela me laisse quelque peu admiratif

[Alpha]

Merci, j'ai fait de mon mieux!

;)

[Anonyme]

Lancer 5 dés revient à jouer au poker (sec). Que peut-on espérer au premier jet ?
Voici les cas possibles :
5 dés différents (pas de chance) : C(6,5)=6
4 identiques + 1 autre différent (chouette : carré !) : 6*5=30
3 identiques + 2 différents (brelan) : 6*C(5,2)=6*10=60
2 identiques + 3 différents (entre eux et de la paire=une paire) : 6*C(5,3)=6*10=60
2 identiques + 2 autres identiques + 1 différent des premiers (deux paires) = C(6,2)*4=60 (On a un C(6,2) car deux paires consistent à choisir deux dés différents parmi 6 ; le 4 vient du fait que l’on ne peut choisir qu’une face parmi les 4 restantes)
3 identiques + 2 autres identiques (full) : 6*5=30
5 identiques (poker !) : 6
Total = 6+30+60+60+60+30+6=252

Si j'ai bien compris la formule d'Alpha, c'est la combinaison C(n+p-1,n) avec n le nombre de dés et p=6 le nombre de faces. Donc c'est C(n+5,n) qui donne pour n=5 : C(10,5)=252. ca colle !

Remarque : C(n+5,n)=C(n+5,5)= n !/[(n-5) ! 5 !].

Question annexe : a-t-on autant de chances d’avoir cinq dés tous différents que cinq dés identiques ?

[Anonyme]

Remarque : C(n+5,n)=C(n+5,5)= (n+5)!/(n!5!) encore plus simple !

Question : pourquoi ne s'aperçoit-on de ses erreurs >> qu'après << le départ du message ?

[Alpha]

Salut,

on s'en aperçoit après, car, pendant, on met trop de hâte à le rédiger, et qu'on ne possède pas l'oeil critique que l'on a une fois que le message est affiché.

Mais peux-tu préciser ce que tu entends par dés identiques et dés différents?
Ce sont des dés qui, une fois lancés, affichent des numéros identiques ou différents, je suppose.

Tu dis : "si j'ai bien compris la formule d'Alpha"... Cela voudrait-il dire que tu n'es pas sûr de l'avoir bien comprise? Je peux éventuellement essayer de t'éclairer si tu n'as pas compris mon explication. ;)

[Anonyme]

1- Le pire est que je n'ai mis aucune hâte à rédiger... j'ai laissé une formule fausse traîner pendant 8 jours !

2- Les dés n'ont pas d'individualité propre : ce qui compte, c'est le chiffre qu'ils affichent. C'est pour ça que l'exemple du poker que semblait bien. Avec des cartes, c'est différent, puisque la couleur intervient. Si j'ai (1,2,3,4,6) aux dés, je n'ai rien. Aux cartes, j'ai peut-être une "couleur".

3- Les p=6 cases de ta démontration correspondent aux six faces. A quoi correspondent concrêtement les cinq cloisons que tu ajoutes ?

[Alpha]

Salut,

comme je l'ai dit dans ma solution, un tirage est déterminé par le nombre de 1, le nombre de 2, le nombre de 3, ..., le nombre de 6, donc le nombre de tirages possibles est le même que le nombre de façon de distribuer n boules dans 6 colonnes.

Le nombre de boules dans la colonne n°1 correspond au nombre de dés affichant le 1, et idem pour les autres colonnes jusqu'à la 6ème.

Maintenant, si je prend mes n boules et qu'avec je remplis un n+6-1 = n+5 uplet avec ces n boules (en utilisant le symbole O pour une boule par exemple), de façon aléatoire, il reste 5 espaces libres. Si je les remplis chacun avec une "cloison" notée /, on verra bien que les boules sont réparties selon les 6 colonnes dont j'ai parlé au début.

Je pense que pour formuler la chose de façon plus rigoureuse, il y a une bijection entre l'ensemble des tirages possibles de n boules dans les 6 colonnes et l'ensemble des uplets que l'on peut former en remplissant un n+p-1 uplet de la façon dont je l'ai indiquée.

En effet, à tout tirage de n boules dans 6 colonnes correspond une unique représentation avec n boules et 5 cloisons, et à toute représentation avec n boules et 5 cloisons correspond un unique tirage de n boules dans 6 colonnes.

Prenons n=10, et un tirage dans 6 colonnes, par exemple :

O
O O
O O
O O O O O

(4 boules dans la 1ère colonne, , 1 dans la 2ème, 3 dans la 3ème, 1 dans la 4ème, aucune dans la 5ème et 1 dans la 6ème).

Je peux représenter ce tirage aussi de la façon suivante :

(OOOO,/,O,/,OOO,/,O,/,/,O).

J'espère que ceci aura pu t'éclairer...

Si quelqu'un connait une meilleure façon d'expliquer plus rigoureusement et plus clairement la façon dont j'ai résolu le problème, je suis preneur, car je suis loin d'être un expert en dénombrement (on n'en fait plus en MPSI).

;)

[Anonyme]

Merci Alpha.

[Anonyme]

En y regardant rapidement, la question est un peu vague.

on lance simultanément?
on lance un par un sans remise?
faut il tenir compte de l'ordre? (alors 1-6-1... # 1-1-6... par ex)
faut il tenir compte ou non des jets identiques s'il n'y a pas d'ordre?

faut préciser là!

[Alpha]

Salut,

Justement, il ne faut pas "y regarder rapidement" !!!

Prends le temps de lire toute cette discussion et tu comprendras le sens exact de la question initiale, qui, il est vrai, n'était pas précise.

;)