Lancers de Pièces

[dreameriam]

Bonjour à tous ! Merci de bien vouloir m'aider pour cet exercice, s'il vous plaît.

Enoncé : on dispose de trois pièces : la première est équilibrée, la deuxième est telle que la probabilité d'obtenir "face" est 2/3 et la troisième comporte deux "faces". On choisit au hasard l'une de ces trois pièces et on procède ensuite à des lancers de cette pièce.
1°) On lance la pièce et on obtient "face".
Quelle est la probabilité de l'événement "on lance la troisième pièce" ?
2°) On lance n fois la pièce choisie, où n est un entier naturel non nul. On obtient n "faces".
Déterminer la probabilité p(n) de l'événement "on lance la troisième pièce", puis lim de p(n) lorsque n tend vers +oo. Commenter.
3°) Lors du deuxième et du troisième lancer, on obtient "face".
Calculer la probabilité de l'événement "obtenir "face" au premier lancer".

Je n'ai réussi à traiter aucune question, je n'ai même pas idée de la méthode à appliquer. Pouvez-vous s'il vous plaît, me pister. Cela me serait d'une grande aide. Encore merci !

[beagle]

La pièce 1 sort une fois sur 3, et le face sortira une fois sur 2, la pièce 1 va contribuer à face avec du 1/3 x 1/2,
la pièce 2 sort une fois sur 3, et le face sortira 2/3, la pièce 2 contribue à face avec du 1/3 x 2/3
la pièce3 sort une fois sur 3 et le face sortira 1/1, la pièce 3 contribue à du face 1/3 x 1

On aura, mais on s'en fiche, oui mais c'est bien que l'ensemble des probas fasse 1, il y a des moments où cela rassure:
pièce 1 fera 1/3 x 1/2 du pile
pièce 2 fera 1/3x 1/3 du pile
pièce 3 fera 1/3 x 0 du pile

donc on a découpé le gateau toutes les probas = 1 en 6 parts (mouais la part pile de pièce 3 y rien à bouffer mais bon),
alors ensuite dans la partie du gateau face (l'ensembles des trois parts de gateau face), tu cherches quelle proportion revient à la pièce 3: proba pièce 3 sachant face.
Ce qui devrait ètre du gateau, enfin des fractions de fractions ...

enfin j'imagine...

[adrien69]

Salut,

1) Formule de Bayes (on l'appelle parfois probabilité des causes : si tu as plusieurs causes possibles, par exemple plusieurs pièces, pour un résultat donné, par exemple tu es tombé sur face ; elle te donne la probabilité des différentes causes possibles si tu connais le résultat) + formule des probabilités totales (c'est tout simplement la formule de l'arbre de probabilités)

2) Les évènements sont indépendants les uns des autres. Donc p(n) sera le produit des n probabilités que tu auras trouvées en 1)

3) Quelle est la probabilité d'avoir choisi la 3ème pièce ? La première ? La seconde ?

[beagle]

ah ouais, "Formule de Bayes" c'est moins tarte que ce que j'ai fais!

[dreameriam]

Merci à tous :) J'ai essayé la formule de Bayes et j'ai trouvé 6/13, c'est bien ça ?

[adrien69]

Aucune idée. Je refuse de le calculer ;)

[beagle]

Merci à tous J'ai essayé la formule de Bayes et j'ai trouvé 6/13, c'est bien ça ?

j'ai voulu vérifier si j'étais bien bayesien, et je retombe sur ton 6/13.
13 à cause de 3+4+6=13, sinon on aurait trouvé un autre résultat...

[Doraki]

2) Les évènements sont indépendants les uns des autres. Donc p(n) sera le produit des n probabilités que tu auras trouvées en 1)

Tu devrais avoir honte de proférer de telles inepties.


La question 3 est tournée très bizarrement. D'habitude quand on connait les lancers 2 et 3 c'est qu'on était là pour observer le résultat du lancer 1. Si ils avaient échangé premier lancer et troisième lancer j'aurais mis 10 fois moins de temps à comprendre la question.

[adrien69]

Ou sinon je devrais juste avoir honte d'avoir lu en diagonale ?

p(n)=P(3|f....f)=P(f....f|3)P(3)/(P(f....f|1)P(1)+P(f....f|2)P(2)+P(f....f|3)P(3))=(1/3)/((1/3)(1/2^n + (2/3)^n + 1))=1/(1/2^n + (2/3)^n + 1)

[chan79]

Ou sinon je devrais juste avoir honte d'avoir lu en diagonale ?

p(n)=P(3|f....f)=P(f....f|3)/(P(f....f|1)P(1)+P(f....f|2)P(2)+P(f....f|3)P(3))=3/(1/2^n + (2/3)^n + 1)

Au numérateur, c'est pas 1 ?
p(n) doit toujours être inférieur à 1

[adrien69]

C'est pour ça que je ne fais jamais les calculs. :/

J'ai corrigé.