Ker d'un espace vectoriel de matrices

[Utoya]

Salut,

Je coince un peu sur un exercice.

Soit .

On considère l'application définie, quelle que soit la matrice dans par : .

Après avoir vérifié que est un endomorphisme de , déterminer et .

Pour démontrer que est un endomorphisme pas de souci, par contre je bloque pour l'instant pour .

J'ai tenté un début de réponse mais je ne sais pas si c'est bon :

Soit :



Et je trouve .

Je doute fort que ce soit le résultat souhaité. Merci d'avance pour votre aide !

[zygomatique]

salut

ben si tu doutes alors la meilleure solution c'est de refaire la résolution du système ...

[mathelot]

La matrice A est de rang 2, donc l'endomorphisme associé est une bijection
L'application réciproque de est

[Utoya]

zygomatique Non, ce n'est pas vraiment de la résolution du système dont je doute, c'est du résultat obtenu.

Ça voudrait dire que

Après, peut-être est-ce parce que c'est la première fois que je tombe sur un tel résultat, mais d'habitude je trouve des résultats comme :



mathelot J'ai un peu de mal à voir de quelle manière ça peut m'être utile pour calculer . Après, je t'avoue que je me plonge seul dans le programme de deuxième année de prépa afin de m'avancer un peu, et par conséquent, je ne maîtrise pas encore mon cours à 100%.

[Sake]

zygomatique Non, ce n'est pas vraiment de la résolution du système dont je doute, c'est du résultat obtenu.

Ça voudrait dire que

Après, peut-être est-ce parce que c'est la première fois que je tombe sur un tel résultat, mais d'habitude je trouve des résultats comme :



mathelot J'ai un peu de mal à voir de quelle manière ça peut m'être utile pour calculer . Après, je t'avoue que je me plonge seul dans le programme de deuxième année de prépa afin de m'avancer un peu, et par conséquent, je ne maîtrise pas encore mon cours à 100%.

Visiblement, c'est le bon résultat. Tu vois à la structure de la matrice AM que le système est formé de deux couples d'équations liées. Puisqu'on travaille dans M2(R), tu remarques ici que A est de rang 2. Le théorème du rang te dit donc que le noyau est de dimension 0, donc qu'il est réduit au singleton {0}.

[Doraki]

Puisqu'on travaille dans M2(R), tu remarques ici que A est de rang 2. Le théorème du rang te dit donc que le noyau est de dimension 0, donc qu'il est réduit au singleton {0}.

Tu l'appliques à qui le théorème du rang ?

[Sake]

Tu l'appliques à qui le théorème du rang ?

Clairement je me suis fourvoyé, car c'est à phi qu'il faut l'appliquer !

[Utoya]

Merci pour vos réponses. :we:

Quelqu'un peut-il me dire si j'ai bon pour la suite ?

Pour calculer :

On note base canonique de .

Avec , , et

[Cauchy2010]

Salut,
oui, c'est correct, comme ton noyau, qui est composé du seul vecteur nul, car ton endomorphisme est un isomorphisme.

[mrif]

mathelot J'ai un peu de mal à voir de quelle manière ça peut m'être utile pour calculer . Après, je t'avoue que je me plonge seul dans le programme de deuxième année de prépa afin de m'avancer un peu, et par conséquent, je ne maîtrise pas encore mon cours à 100%.

L'application est bijective d'après la preuve donnée par mathelot. Comme tu as démontré que cette application est un endomorphisme, c'est donc un isomorphisme et de là tu conclues pour et .

Pour revenir à la preuve de mathelot, d'une façon générale une application f de A dans B est bijective SSI
Pour tout y dans B, l'équation d'inconnue x: f(x) = y, admet solution unique.

Dans ton exemple, on résoud l'équation c'est à dire l'équation , et comme est inversible on compose à gauche par et on obtient la solution unique