Joli exo

[kazeriahm]

salut, je propose un exo que j'aime bien :

on se donne G un groupe fini, V un C ev de dim finie et p un morphisme de groupes de G dans GL(V).
On définit f de G dans C par f(g)=tr(p(g))

Comparer f(g) et f(g^-1)

[yos]

f est le caractère de la représentation p, donc, comme G est fini,
.

[kazeriahm]

je connais pas la notion de caractère de représentation ?!

fahr et yos vous etes énervant les exos que j'aime bien vous font pas plancher plus de 5 minutes ! :mur: :we:

[aviateurpilot]

c'est quoi GL(V)??
desole pour cette question bete

[kazeriahm]

c le groupe des automorphismes de V (GL pour groupe linéaire)

[aviateurpilot]

c le groupe des automorphismes de V (GL pour groupe linéaire)

ah ok,
peux t-on pas dire qu'elle exist une matrice carré tel que



donc ?

N.B: je suis sure que j'ai fait une :marteau:

[kazeriahm]

oui tu as dit une betise car tr(A)tr(A^-1)<>1... (prendre A=In pour s'en convaincre) de toute facon yos a donné la réponse et aviateurpilot pour résoudre cet exo il faut passer par des notions de deuxième année de prépa

[aviateurpilot]

Si A = In , on a tr(A) * Tr(A^-1) = n*n = n²

ah ouiiiiiii lol,

c'est quoi ?

[kazeriahm]

le conjugué de f(g)

[aviateurpilot]

le conjugué de f(g)

et c'et quoi le conjugué d'une application linéaire?

[yos]

p(G) est un sous-groupe fini de Gl(V) donc ses éléments vérifient , où d est l'ordre de p(G). Ce sont donc des matrices (diagonalisables) dont les valeurs propres sont des racines de l'unité. L'inverse d'une telle racine est égale à son conjugué. Après c'est facile.

[yos]

je connais pas la notion de caractère de représentation ?!

Le caractère d'une représentation p est la fonction .
Ca généralise la notion de caractère d'un groupe abélien (qui est un homomorphisme de G dans C).