Jeu de cartes

[VieuxCrouton]

Bonjour
On m'a soumis un problème de proba que je n'arrive pas à résoudre malgré près d'une semaine d'efforts. Voici l'énoncé :

On dispose d’un paquet de 2 n cartes et d’une table de jeu sur laquelle on a dessiné n emplacements, numérotés de 1 à n. Les cartes sont également numérotées de 1 à n et chaque carte existe en deux couleurs.

L’expérience qu’on envisage de réaliser est la suivante :
Mélanger le paquet de cartes puis placer les cartes l’une après l’autre sur la table. La première carte tirée sera posée dans l’emplacement 1, puis la seconde dans l’emplacement 2, etc … lorsqu'on arrivera à l'emplacement n on repartira de l'emplacement 1. A la fin de la distribution chaque emplacement contiendra donc 2 cartes.

Question : Quelle est la probabilité pour que, à l'issue de l'expérience, au moins une cartes soit bien placée, c'est à dire soit posée dans un emplacement portant le même numéro qu'elle ?

Merci pour votre aide et ... bon courage !

Pour ceux que ça intéresse j'ai trouvé la solution dans le cas où il n'y a qu'une couleur (n cartes et n emplacements) et c'est déjà pas simple.

Pierre

[fatal_error]

hello,

peut etre une piste?

Je présume que pour n cartes c'est le contraire du nombre de dérangements https://fr.wikiversity.org/wiki/Formule ... rangements

du coup partant du même principe pour 2n cartes
on conserve E = {1..n}

Au passage de la ligne du crible
card(A_I) | card(I)==k => (n-k)!

on adapte vu qu'ici pour un indice i_j, j<=k il n'y a plus une solution... mais deux
on a donc card(A_I) = 2^k * (2n-k)!
avec l'idée que i_1 deux possibilités, i_2 pareil, ..i_k pareil donc 2^k
puis les 2n-k restant on les shuffle comme on veut

Evidemment, a prendre avec pincettes, plus ca va et plus chui imprécis ..

(la suite logique (pour moi) serait de vérifier par l'expérience que je dis pas de conneries, puis d'essayer de simplifier l'expression. Mais la vie est rude, et la biere aussi : D)

edit: 1 point supplémentaire pour ma bêtise. je laisse le contenu mais pas trop faire attention