Isomorphismes

par **louls** » 04 Déc 2010, 13:04

Bonjour à tous!
je chercher a montrer que les corps Q, Q[i],R et C sont deux à deux non isomorphes et je ne vois pas trop par où partir!
Merci de votre aide

par **Nightmare** » 04 Déc 2010, 13:35

Salut,

Pour quelle structure parle-t-on d'isomorphisme?

Edit : Au temps pour moi, je n'avais pas lu le "les corps [...]".

Bon alors pour commencer, il y a des cas triviaux, que dire déjà du cardinal de Q, Q[i] R et C? Ca permet déjà de régler quelques cas ... En fait, quels sont les cas qui te posent problème?

par **louls** » 04 Déc 2010, 14:39

c'est à dire que je ne vois pas comment l'expliquer, comment faire une bonne rédaction car il n'y aura pas de bijection entre les ensembles ...
quant aux cardinaux on peut dire que le cardinal de Q < R < C donc que dejà entre ces différents ensembles il n'y aura pas d'isomorphisme

par **Doraki** » 04 Déc 2010, 15:02

Il faut raisonner par l'absurde.

Il se passe quoi si tu as un isomorphisme de corps f : Q[i] -> Q ?

C'est quoi les valeurs possibles de f(0), f(1), f(2), f(-3/4), f(i) ?

par **Nightmare** » 04 Déc 2010, 15:04

Exact !

Bon, remarquons quand même une chose, c'est que s'il n'existe pas d'isomorphisme, c'est parce que plus généralement, il n'existe pas de bijection entre les deux. Donc ici, la réponse n'est pas réellement liée à la structure de ces ensembles.

Ensuite, que pourrais-tu dire de Q et Q[ i]? Déjà quelle est la forme des éléments de Q[ i] ?

Ajout : Réponse au post de louls

par **Ben314** » 04 Déc 2010, 15:15

Salut,
Perso, je me contenterais de "la méthode Doraki" qui ne demande aucune conaissanc concernant la cardinalité donc fait plus joli dans le cadre "théorie des corps".
Tu doit sans dificulté trouver des polynômes de degré 2 à coeffs entiers qui ont/n'ont pas de solutions en fonction du corps dans lequel on est.

par **louls** » 04 Déc 2010, 15:24

oui ! mais du coup au niveau de la rédaction pour Q -> R , Q -> C et R -> C c'est suffisant de dire que les cardinaux ne sont pas égaux ?

Q[i] = {a+ib avec a,b appartiennent à Q}

tous les éléments de Q[i] qui vont s'écrire sous forme d'un complexe n'auront pas d'image dans Q. Du coup, il n'existe pas de bijection de Q[i] dans Q.

par **Ben314** » 04 Déc 2010, 15:37

Par contre, ça, au niveau "rédaction", ça vaut zéro : tu ne démontre absolument RIEN.
Qu'est ce qui te fait dire que :

louls a écrit:...tous les éléments de Q[i] qui vont s'écrire sous forme d'un complexe n'auront pas d'image dans Q.

par **Arkhnor** » 04 Déc 2010, 15:46

Bonjour.

quant aux cardinaux on peut dire que le cardinal de Q < R < C donc que dejà entre ces différents ensembles il n'y aura pas d'isomorphisme

R et C ont le même cardinal, aussi surprenant que cela puisse paraître ...

par **louls** » 04 Déc 2010, 15:49

Oui c'est vrai c'est complètement faux!
je suis désolé mais je n'arive pas à voir comment faire...sauf dans les cas où je peux utiliser la cardinalité

par **Ben314** » 04 Déc 2010, 15:56

Le premier truc à dire (au cas ou tu ne l'ai pas déjà vu en cours) est qu'un isomorphisme entre corps de caractéristique 0 (c'est à dire contenant Q) doit envoyer les quotient sur eux même.

Ensuite tu utilise le fait que, si par exemple l'équation 3X²-8X+5 (au pif) a une solution alpha dans un corps K et que tu as un isomorphisme phi de K dans K' alors phi(alpha) est une solution de l'équation 3X²-8X+5 dans K' vu que phi(3)=3, phi(-8)=-8 et phi(5)=5.

Il te suffit donc de trouver des équations de ce type qui ont une solution dans K mais pas dans K' pour prouver que K et K' ne sont pas isomorphes.

par **louls** » 04 Déc 2010, 19:01

Le premier truc à dire (au cas ou tu ne l'ai pas déjà vu en cours) est qu'un isomorphisme entre corps de caractéristique 0 (c'est à dire contenant Q) doit envoyer les quotient sur eux même.

je ne l'ai jamais vu dans mon cours pourtant on a une partie sur "caractéristique"
Il n'y a pas une autre manière plus simple de le montrer ?!
merci

par **Ben314** » 04 Déc 2010, 19:06

C'est... immédiat.
Par définition, si F est un isomorphisme de corps de K dans K' alors :
1) F(0)=0 et F(1)=1
2) F(x+y)=F(x)+F(y) et F(-x)=-F(x) ce qui, grâce au 1) montre que, pour tout x de Z, F(x)=x.
3) F(x*y)=F(x)*F(y) et, si y non nul, F(x/y)=F(x)/F(y) ce qui montre que, pour tout x de Q, F(x)=x.

par **louls** » 04 Déc 2010, 19:38

et donc c'est aussi vrai pour R : un isomorphisme entre corps de caractéristique 0 doit envoyer les réels sur eux même ?
et de même pour C ?

par **Ben314** » 04 Déc 2010, 20:08

louls a écrit:et donc c'est aussi vrai pour R : un isomorphisme entre corps de caractéristique 0 doit envoyer les réels sur eux même ?
et de même pour C ?

Je voudrais bien voir comment tu fait pour montrer que, si F est un isomorphisme de corps de R dans R alors F(racine(2))=racine(2) ?

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