Isomorphisme,groupes quotients

[ludo56]

Bonjour,

Sur Wikipédia, article concernant le produit semi-direct, il est dit que l'on a un isomorphisme entre K et G/H avec comme hypothèses:
H et K deux sous groupes de G, H sous groupe normal de G et l'intersection de H et K réduit au neutre.
Pour l'injectivité je n'ai pas de problèmes mais je ne comprends pas d'où vient la surjectivité!
Merci d'avance!

[Finrod]

Pour trouver un antécédent de (k,h)\in G/H, il faut vérifier que (k,h) est equivalent à (k,1_{H}) l'antécédent apparaît alors clairement.

utilise (1,h') avec h'=k^{-1}h^{-1}k.

multiplier par cet élément ne doit pas changer la classe d'équivalence.

[ludo56]

Merci our ta réponse.Désolé j'ai oublié comme hypothèse que G=HK.
Sinon, au niveau de tes notations,es ce que (k,h) signifie la classe de k ?

[yos]

Bonjour.

L'isomorphisme général est .
on envoit hk mod H sur k et faut vérifier tout.

[Finrod]

Merci our ta réponse.Désolé j'ai oublié comme hypothèse que G=HK.
Sinon, au niveau de tes notations,es ce que (k,h) signifie la classe de k ?

C'est un élément de G qui représente la classe de k (enfin c'est ce qu'il faut démontrer pour la surjectivité)

Dans ton cas, c'est le morphisme qui a k dans K associe la classe de (k,1) dans KH. L'isomorphisme inverse est le morphisme donné par yos.

[ludo56]

Ok d'accord merci bien a vous deux