Isomorphisme Explicite

[ComeDuRondeau]

Bonjour,

Je considère (avec un entier positif) et son anneau des entiers (qui est un anneau de Dedekind). Soit un idéal de .

La théorie des modules finiment générés sur les anneaux de Dedekind affirme que les deux -modules et sont isomorphes (ils ont la même classe de Steinitz dans le groupe de classe).

D'autre part on sait qu'on peut toujours écrire où sont des entiers tels que (où désigne le carré du module).

Ma question est la suivante : sachant qu'il existe un isomorphisme y a-t-il un moyen de l'expliciter ?

En reprenant les démonstrations dans les modules sur les anneaux de Dedekind c'est compliqué. Les démonstrations sont longues, utilisent des résultats d'existence non constructifs ou des théorèmes d'approximation forte. Seulement là on est dans un cas très particulier ; notre anneau de Dedekind est extrêmement simple et nos modules aussi.

Un ingrédient qui peut éventuellement servir : Soit trois idéaux (éventuellement fractionnaires) d'un anneau de Dedekind de corps de fraction alors il existe deux éléments de tels que . En particulier on a toujours tels que Un isomorphisme impliquant ces constantes me suffit même si elles ne sont pas explicites (obtenues par approximation forte).

N'hésitez pas à me demander de donner des détails sur des points qui sont flous.

[mathelot]

Bonjour, as tu essayé les catégories et les propriétés universelles dans ces catégories ? Peut être que la théorie des catégories te donnera des isomorphismes explicites ?

[Archytas]

J'ai un peu essayé de fouiller mais sans succès. Je ne vois pas trop comment la théorie des catégorie pourrait nous aider. Je ne m'y connais que très vaguement dans les catégories. Pourrais-tu expliciter un peu ?