Isomorphe

[zork]

Bonsoir

dans un exo je dois montrer que avec Z le centre de est isomorphe à

Comme indication on me dit de faire agir le groupe sur les droites de
Mais je ne vois pas du tout en quoi cela consiste. Pouvez-vous m'aider?


merci

[Ben314]

Salut...
Faire agir SL2 sur les droite.... y'a du projectif là dessous...

Bon, sinon, de façon plus concrète, tu as évidement une action de groupe naturelle de GL(n,K) (et donc de tout sous-groupe) sur l'ensemble des droites de K^n consistant bètement à dire que, si A est une matrice et D une droite, ben "A appliqué à D", c'est la droite A(D)...

Donc là, on te demande juste de compter le nombre de droite (fastoche) et de regarder quel est le "noyau de l'action" : une action de groupe de G sur un ensemble E peut (doit ?) être vu comme un morphisme de groupe de G dans l'ensemble des bijections de E->E.

[zork]

c'est la première fois que je fais un truc comme ca. Comment on compte le nombre de droite?

[Ben314]

Il y a des tas de méthodes plus ou moins sophistiquées...

1) Les droites vectorielles c'est les parties du plan définies par y=ax avec a un scalaire plus la droite d'équation x=0. Donc si le corps de base à q éléments, il y a q+1 droites.

2) Deux droites vectorielles distinctes ont comme seul point d'intersection le vecteur nul donc l'ensemble des (droites privées de 0) forme une partition du (plan privé de 0). Comme toute les (droites privé de 0) ont le même nombre q-1 de point et que le (plan privé de 0) en a q²-1, c'est que le nombre de droite est (q²-1)/(q-1)=q+1.

Donc ici, comme par hasard, ça fait 4 droites contenant 2 vecteurs non nuls chacune (je pense que tu as intérêt à leur donner des noms pour mieux voir comment le groupe agit dessus)

[zork]

et pour l'action? il faut la définir sinon je ne peux rien faire. En faites si on me donnait l'action ca serait bon mais là trouver cette action c'est plus dure

[Ben314]

Ben l'action, je te l'ai déjà dit : elle est "naturelle" dans le sens que, si M est une matrice de SL2(F3) et D une droite de F3² tu défini l'action en disant bètement que M.D=M(D) (l'image de la droite vectorielle par l'endomorphisme)

[Ben314]

En regardant d'un peu plus prés, je trouve que l'indic. (et l'énoncé...), est un peu "pourrie" :
C'est beaucoup plus "joli" de faire agir GL2(Z3) tout entier sur les 4 droites, d'en déduire que GL2(Z3)/son_centre est isomorphe à S4 PUIS d'en déduire que SL2(Z3) est isomorphe à A4.

[zork]

je fais agir sur l'ensemble des droites vectorielles D.
Pour l'action j'ai:
avec i de 1 à 4
c'est bien une action

mais après c'est quoi le truc avec le noyau de l'action

[Ben314]

(bis) avoir une "action du groupe G sur l'ensemble E", c'est trés précisément avoir un morphisme de groupe du groupe G dans le groupe (S(E),o) où S(E) est l'ensemble des bijection de E dans E :
l'image par ce morphisme de l'élément g du groupe G, c'est la bijection de E dans E x->g.x (c'est bien une bijection de réciproque y->g^{-1}.y)

Ici, ta fameuse "action", tu peut donc la voir comme un morphisme Phi de GL2(F3) dans S(D) où D est l'ensemble des droites.
Comme D a 4 éléments, S(D), c'est en fait S4 (groupe des permutations d'un ensemble à 4 éléments)

Aprés, évidement, vu que tu as un morphisme, le truc qui vient à l'esprit, c'est le théorème d'isomorphisme qui te vend que Groupe_De_Départ/Ker(Phi) est isomorphe à Im(Phi).

Donc il faut évaluer Ker(Phi) et/ou Im(Phi) : vu que tout les ensembles considérés sont finis, dés que tu as le cardinal d'un des deux, ça te donne le cardinal de l'autre.
Le plus simple, à mon avis, c'est de vérifier que Ker(Phi) est le centre de GL2(F3) et tu en déduira que le cardinal de Im(Phi) est 24 donc Im(Phi) est forcément S4 tout entier.

Sinon, concernant la façon de noter les fameuses 4 droites de D, un truc pas con, c'est de noter simplement la droite d'équation x=ay (j'ai bien écrit x=ay et pas y=ax...) et de noter la droite d'équation y=0.
Ca te permet d'écrire et c'est assez malin de regarde comment agit une matrice (inversible) sur un élément de : c'est... on ne peut plus simple...