Isoler une variable

[abc]

Bonjour,

J'aimerais évaluer n en fonction de a et k de façon à ce que l'inégalité ci-dessous soit vérifiée, mais je n'arrive pas à isoler n. Les variables a, n et k sont des entiers naturels.

n^(k+1) - (n-1)^(k+1) < a^k

Pouvez-vous m'aider?

Merci à l'avance!

[GaBuZoMeu]

.
Tu peux majorer et minorer utilement cette quantité

[abc]

Merci GaBuZoMeu,

Je connais cette identité remarquable, mais cela ne me permet pas d'isoler n. Une majoration ou minoration demeure une approximation.

[GaBuZoMeu]

n est un entier naturel dans ton problème. Ce que je te suggère permet de déterminer très facilement un entier n tel que n ou n+1 soit le plus grand entier satisfaisant l'inégalité. Il ne te reste plus qu'à vérifier si n+1 satisfait l'inégalité, et tu as ta réponse.
Pas heureux avec ça ?

[abc]

Pas heureux car je ne comprends pas ce que tu veux dire. Il faudrait illustrer par un exemple peut-être.
Merci!

[GaBuZoMeu]

Ne devines-tu pas quelle majoration et quelle minoration de j'ai en vue ?
Indication : la majoration fait intervenir et la minoration .

[tournesol]

@GaBuZoMeu
a doit être supérieur à 1 et k doit être supérieur à 0 .
Ceci étant ,pour certains couples (a,k) le plus grand n est , et pour d'autre couples on peut l'augmenter de 1 . As tu réussi à trouver un critère discriminant ?
L'inégalité est toujours vérifiée dans le premier cas . C'est le travail d'abc que de le démontrer .

[abc]

Merci GaBuZoMeu!

J'ai utilisé k(n-1)^k comme minorant et kn^k comme majorant et j'obtiens que n-1 < (a/(k^(1/k)) < n.

[GaBuZoMeu]

Il y a k+1 termes dans la somme.

[abc]

Oui c'est vrai et j'obtiens alors le même résultat que Tournesol.

Merci à vous deux!