Irrationnalité de e

[TheCrock]

Bonsoir,
Je suis actuellement en train de faire mon dm, mais je bloque a quelques questions
L'énoncé est en pièce jointe car je n'arrive pas à insérer les équations avec Latex
J'en suis actuellement à la question 3)a),

J'ai essayé de développer w pour essayer de conclure quelque chose, mais je n'aboutis à rien

Auriez vous quelques conseils ?
Merci beaucoup

[Ben314]

Salut,
Pour les pièces jointes, il n'y a plus moyen de stocker quoi que ce soit directement sur le serveur du forum.
Donc il faut stocker sur un hébergeur autre puis mettre le lien ici.

[TheCrock]

Ok, bon je vais taper le sujet comme ca
Soit n un entier naturel non nul
On pose Un = somme (k = 0 à n ) [1/k!]
Vn = Un + 1/(n * n!)
Tn = (1+1/n)^n
Wn = (1 - (1/n^2))^n

Apres avoir montré que Tn tends vers e et Wn tends vers 1, j'ai montré que
Tn = Somme (k = 0 à n) [ (1/k!) * produit (j = 1 à k) ((n-j+1)/n) ]
puis que pour n un entier naturel,
Tn <=Wn

Et maintenant, je dois montrer que :
Pour n un entier naturel, Vérifier que pour tout entier k entre 0 et n :
Wn <= Produit (j = 1 à k) [(n^3 - j + 1)/n]

et c'est ici que je suis bloqué

Voila, j'espère que la compréhension ne sera pas trop difficile, Merci par avance pour l'aide apportée

[Ben314]

Il y a des boulettes dans ton truc :
1) Ça peut pas être Tn <= Wn vu qu'on a trivialement Wn < 1 < Tn.
2) L'inégalité Wn <= Produit (j = 1 à k) [(n^3 - j + 1)/n] me semble franchement sans intérêt vu que Wn < 1 alors que le terme de droite est (beaucoup) plus grand que 1.

[TheCrock]

Oui effectivment, j'ai mal recopié.
J'ai montré que Tn <= Un (pas Wn)
Ensuite, je viens de me rendre compte de mon erreur, c'est un n^3 au dénominateur
Produit (j = 1 à n) [(1/n^3) * (n^3 - j +1) (qui lui n'est pas plus grand que 1)


Et c'est donc la que je bloque (Décidément j'ai fait beaucoup d'erreur de copie, encore désolé)

Merci pour les réponses

[Ben314]

Si ce que tu doit montrer, c'est effectivement que , ça résulte simplement du fait que lorsque c'est à dire lorsque .

[lyceen95]

Pour taper des formules Latex ; \dfrac{j-1}{n^3} , par exemple, et ensuite, tu sélectionnes la portion de texte en question, et tu cliques sur le bouton TEX
En fait, ce bouton ajoute simplement les balises Début-Tex et Fin-Tex autour du texte sélectionné.

Résultat

[Ben314]

@lycéen : tu as une idée de ce qu'il compte faire avec ce type de majoration sachant que le titre du fil c'est "irrationalité de e" ?
La méthode classique, ça utilise uniquement les suites (adjacentes) (Un) et (Vn).
Peut-être que c'est pour montrer que ces deux suites tendent vers e (en supposant que ce n'est pas connu du public à qui le D.M. est destiné) et en partant du fait, plus immédiat, que (Tn) tend vers e. Mais je ne vois pas à quoi peut servir cette majoration bizarre de Wn . . .