Involution

[Babe]

Bonjour

voila j'ai un exercice a faire et je patoge un peu
merci d'avance

1) Soit f une fonction de E dans E
Montrer que toutes les involutions sont des bijections

Je pense qu'il faut partir du fait que: f est une involution si f est une application et si pour tout x dans E on a f(f(x))=x mais apres je cale

2) Soit f et g deux injections de E ds E tel que pour tout x ds E, on a f(x)=x ou bien g(x)=x. Montrer que fog=gof

[nuage]

Salut,
pour le 1)
On a (c'est toujours vrai) et donc et f est surjective.
De plus si alors donc f est injective.

A+

[yos]

1) Autre façon. On a les implications classiques et faciles :
fog injective entraîne g injective, et fog surjective entraîne f surjective.
Si on applique ça à fof bijective, c'est fini.

2) On applique l'hypothèse à f(x) : gof(x)=f(x) ou bien fof(x)=f(x) (auquel cas f(x)=x par injectivité de f)...

[Babe]

j'ai pas compris pour la 2
merci davance

[yos]

On fixe un réel x.
On applique l'hypothèse à f(x) :
gof(x)=f(x) ou bien fof(x)=f(x) (et dans ce cas f(x)=x).
de même On applique l'hypothèse à g(x) :
fog(x)=g(x) ou gog(x)=g(x) (et dans ce cas g(x)=x).

On a donc 4 cas :

- Premier cas : f(x)=g(x)=x. C'est clair.

- Deuxième cas : gof(x)=f(x) et g(x)=x. On prend f de chaque côté de la deuxième égalité.

- Troisième cas : fog(x)=g(x) et f(x)=x. Idem à 2ème cas.

- Dernier cas : fog(x)=g(x) et gof(x)=f(x). Pareil à ci-dessus car on a encore
f(x)=x ou g(x)=x.

A toi de chercher des raccourcis.