Involution

[barbu23]

Bonjour à tous, :happy3:

Soit : et deux - espaces vectoriels de dimension .
Soit une application linéaire telle que : .
Comment détermine - t- on la matrice associée à ?

Merci d'avance. :happy3:

[Rha]

Salut,

Déjà, il faut que soit égal à pour pouvoir composer!

Il y a toute la théorie de la réduction des endomorphismes qui peut donner des résultats mais je ne sais pas si tu t'y connais...?

[barbu23]

Salut,

Déjà, il faut que soit égal à pour pouvoir composer!

Il y a toute la théorie de la réduction des endomorphismes qui peut donner des résultats mais je ne sais pas si tu t'y connais...?

Non, je ne m'y connais pas trop malheureusement.

Edit : Je pense qu'il existe plusieurs cas possibles de matrices pour , non ? Toutes les matrices semblables à une matrice diagonale obtenue par diagonalisation, non ?

[barbu23]

Salut,

Déjà, il faut que soit égal à pour pouvoir composer!

Il y a toute la théorie de la réduction des endomorphismes qui peut donner des résultats mais je ne sais pas si tu t'y connais...?

Non, je ne m'y connais pas trop malheureusement.

Edit : Je pense qu'il existe plusieurs cas possibles de matrices pour , non ? Toutes les matrices semblables à une matrice diagonale obtenue par diagonalisation, non ? Parce qu'elles ont le même polynôme caractéristique ( ou polynôme minimal qui annule , la même chose ) : Le polynôme caractéristique est , non ? et donc : la matrice diagonale a pour coefficients, les valeurs propres sur sa diagonale.

[Rha]

Bon, heureusement ça peut s'expliquer.

Le but est de démontrer que est diagonalisable dans une base appropriée, et d'expliciter sa matrice autant que faire se peut.


Puisque , .
Donc .


On pose et .
D'après le théorème de Bézout, et étant premiers entre eux dans , il existe deux polynômes complexes tels que .



Là il faut utiliser un théorème qui dit que l'application qui à un polynôme associe son évaluation en est un morphisme d'algèbres unitaires, ce qui se traduit par .

Soit ; .
Or .
De même, .
On a donc montré que était de la forme avec et : .

Pour montrer que la somme est directe, on considère dans et on calcule avec le polynôme .

Il ne reste plus qu'à choisir une base de adaptée à et pour conclure que dans cette base, la matrice de est diagonale, avec et , étant un entier quelconque entre et .


Si tu veux approfondir, regarde des cours de réduction des endomorphismes et sur les algèbres d'endomorphismes. Le raisonement que j'ai mené est semblable à celui utilisé dans la démonstration d'un théorème important appelé "lemme de décomposition des noyaux".

[Rha]

(après avoir lu ton edit)

En effet, si n'est pas l'identité, le polynôme minimal de est . (ce n'est pas nécessairement son polynôme caractéristique, qui est toujours de degré ).
Et oui d'après les théorèmes qu'il faut, elle est diagonalisable avec les , .

[Maxmau]

Non, je ne m'y connais pas trop malheureusement.

Edit : Je pense qu'il existe plusieurs cas possibles de matrices pour , non ? Toutes les matrices semblables à une matrice diagonale obtenue par diagonalisation, non ? Parce qu'elles ont le même polynôme caractéristique ( ou polynôme minimal qui annule , la même chose ) : Le polynôme caractéristique est , non ? et donc : la matrice diagonale a pour coefficients, les valeurs propres sur sa diagonale.

Bj
f admet un annulateur simplement scindé: P(X) = (X-1)(X+1)
f est donc diagonalisable et E est somme directe de ker(f-I) et de ker(f+I), l'un ou l'autre de ces 2 noyaux pouvant être réduit à zéro.