Inversion de pole A

[chtirico]

Bonjour, pourriez vous m'aider pour mon exercice.

On appelle inversion de pole A et de rapport k>0, la transformation F qui à tout point M différent de A associe M' tel que :
A,M,M' alignés
Le produit scalaire AM.AM' = k


Sur les 5 questions qui suivent, il faudrait vérifier mon raisonnement de la question 2 et m'aider pour la question 5. Merci d'avance
Dans cette partie A=O (origine du repère) et k=1
1.Montrer que si M a pour affixe Z alors M' a pour affixe z'= z/|z|²
Ca j'ai su faire

2.On note D la droite passant par O d'angle polaire a. Montrer que la droite D est globalement invariante par F
J'ai fait : Soit M appartenant à D donc arg(z) = a
Arg(z') = arg(z/|z|²) = arg (z) – arg(|z|²) = a – O (car |z|² réel positif) = a donc M' appartient à D.
Mon raisonnement est-il bon ?

3.On note D la droite d'équation ax+by+c=0. Montrer que F(D) est un cercle.
J'ai su faire

4.On considère le cercle C passant par O d'équation x² + y² + ax + by = 0. Montrer que F(C) est une droite
J'ai su faire
5.On considère le cercle de centre (U,V) et de rayon r. Montrer que F(C) est un cercle.
Je suis parti de
(x-u)² + (y-v)² = r²
x² + y² – 2ux – 2vy = r² – u² – v²
Après je suis bloqué
si je remplace x par x'/(x'² + y'²) et y par y'/(x'² + y'²) je trouve
x'² + y'² - 2ux'(x'² + y'²) - 2vy'(x'² + y'²) = (r² – u² – v²)(x'² + y'²)²
mais après je ne sais pas comment faire pour retrouver l'équation d'un cercle

[chtirico]

pourriez vous m'aider svp merci

[maturin]

pour le 2 il faut aussi que tu montres que tout point de D est atteint.
par contre faut enlever O de D.


pour le 5 je passerais en coordonnées complexes du genre avec zM=u+iv
Tu cherches I le centre du cercle à taton genre en regardant le milieu les images des points de C sur la droite OM avec M=(U,V).

Tu cherches ensuite à montrer que

Pour simplifier les calculs tu peux faire dire qu'avec un changement d'axe il te suffit d'étudier le cas où M est sur l'axe des abscisses. M=(a,0)
donc
zM=a
zI=1/2 (1/(a-r) + 1/(a+r))


Après j'ai pas fait les calculs donc je suis pas sur que ça marche, notamment pour trouver F(zM+eit)

[chtirico]

En essayent de reprendre l'idéee précédente, j'arrive à :
Si M appartient au cercle de centre (u,v) et de rayon R alors en posant w = u + iv on a z = w + R exp (it)

z' = z / |z|²
z' = z / z z* ou z* signifie le conjugué de z
z' = (w + R exp (it)) / [(w + R exp (it)) (w + R exp (it))* ]

Or (w + R exp (it)) (w + R exp (it))* est un réel qui l'on note A

donc z' = (w/A) + (R/A) exp (it)
donc z' appartient au cercle de centre (w/A) et de rayon (R/A)

Est ce que cela peut aller comme raisonnement? Merci

[maturin]

ça marche pas car A dépend de t

[chtirico]

pour la question 5, je n'ai toujours pas su trouver.

Qustion6 : On revient ds le cas général.
On note C et C' 2 cercles tangent en A. Montrer que l'image des 2 cercles (privé du point A) par une inversion de pole A est constituée de 2 droites parallèles D et D'

D'après la question 4, on a vu que si un cercle passait pas le pole d'inversion alors son image était une droite. pour montrer que les 2 droites sont parallèles je suppose que je dois montrer qu'elles ont le mm coef directeur.
Le probleme est que je n'arrive pas à trouver l'équation de la droite
Je suis parti de (x-u)²+(y-v)²+a(x-u)+b(y-v) = 0 équation d'un cercle passant par A (u,v)
J'ai essayé de remplacer x par kx'/(x'²+y'²) et y par ky'/(x'²+y'²) mais je ne parvient pas à trouver l'équation de la droite

[maturin]

alors pour le 5 j'ai pas eu le temps de faire les calculs c'est un peu bourrin effectivement, mais je vois pas d'astuces.

pour la 6 si tu prends la droite passant par le centre de C et passant par A, c'est un axe de symétrie de C. Tu montres que F garde la symétrie.
Donc l'image de C est symétrique par rapport à cette droite. Donc D=F(C) est perpendiculaire à cet axe.

[chtirico]

Merci pour la 6, je voulais faire des calculs mais c'est inutile

Qustion 7. En déduire que si C'' est un cercle tangent à C et C' en deux points distinsts de A alors l'image de C'' ets un cercle C2 tangent à D et D'. Combien y a t il de cercles tangent à C2, D et D'?

[maturin]

sur un dessin c'est assez évident que F garde les tangeances

si tu prends 2 courbes E1 et E2 tangeantes, si tu regardes localement au point de tangeance pour tout M1 de E1 et pour M2 de E2 aligné avec AM1, tu as |AM1|<|AM2| (ou >)
donc pour l'image par F tu auras |AM'1|>|AM'2| (ou <) et AM'1M'2 alignés

[Maxmau]

Bj
Si tu connais l’homothétie et la notion de puissance d’un point par rapport à un cercle, il existe une solution géométrique très simple à la question 5

Je note F l’inversion de pôle A et de puissance k ( k non nul)
Soit ;) un cercle ne passant pas par A et p la puissance de A par rapport à ;).
Je note G l’inversion de pôle A et de puissance p
G transforme ;) en lui-même et donc le transformé de ;) est le même par F ou FoG
FoG est l’homothétie de rapport k/p
Je te laisse terminer

[chtirico]

Non je ne connais pas la notion de puissance d'un point

[maturin]

alors les calculs bourrins ça marche.
prend wu=centre de C avec w réel et u complexe de norme 1
r=rayon de C

1 - Tu calcules le centre du cercle théorique image de C
tu prends la droite qui passe par O et le centre de C
ce qui te fait ton diamètre qui passe par les point wu+ru et wu-ru
tu calcules l'image de ce diamètre (qui sera le diamètre de ton nouveau cercle): u/(w+r) et u/(w-r)
tu calcules le milieu de ce diamètre: wu/(w²-r²)

2 - tu prends un point de C: z=wu+reit
tu calcules son image z'=(wu+reit)/|wu+reit|²=1/(wu*+re-it) (*=conjugé)
tu calcules z'-wu/(w²-r²)
tu dois arriver à un truc genre
conclus en remarquant les 2 expressions conjuguées que le module est = r/|w²-r²| qui est le rayon de ton nouveau cercle.

[Maxmau]

5.On considère le cercle de centre (U,V) et de rayon r. Montrer que F(C) est un cercle.
Je suis parti de
(x-u)² + (y-v)² = r²
x² + y² – 2ux – 2vy = r² – u² – v²
Après je suis bloqué
si je remplace x par x'/(x'² + y'²) et y par y'/(x'² + y'²) je trouve
x'² + y'² - 2ux'(x'² + y'²) - 2vy'(x'² + y'²) = (r² – u² – v²)(x'² + y'²)²
mais après je ne sais pas comment faire pour retrouver l'équation d'un cercle

Tu simplifies par (x'² + y'²)