Inversion plane

[Anonyme]

Bonjour,
Je désigne par I l'inversion de pôle O de rapport k.
Je montre que tout point M=(x,y) a pour image I(M)=M'=(kx/(x²+y²),ky/(x²+y²)).
Maintenant on demande de prouver le resultat classique : l'image par I d'une droite ne passant pas par 0 est un cercle passant par 0.
Si on prend une droite D c'est l'ensemble des points M=(x,y) tels que ax+by+c=0 (je suppose que a et b ne s'annulent pas en meme temps)
Et donc I(D) c'est l'ensemble des points tels que
a*kx/(x²+y²)+b*ky/(x²+y²)+c=0 et je continue le calcul... ça se termine bien
En regardant la solution de l'auteur, il ajoute :

Comme I est involutive , alors I(D) c'est l'ensemble des points tels que
a*kx/(x²+y²)+b*ky/(x²+y²)+c=0

Je ne comprends pas pourquoi il faut l'hypothèse de l'involution???

Merci pour votre aide

Stéphane

[Chimerade]

Bonjour,
Je désigne par I l'inversion de pôle O de rapport k.
Je montre que tout point M=(x,y) a pour image I(M)=M'=(kx/(x²+y²),ky/(x²+y²)).
Maintenant on demande de prouver le resultat classique : l'image par I d'une droite ne passant pas par 0 est un cercle passant par 0.
Si on prend une droite D c'est l'ensemble des points M=(x,y) tels que ax+by+c=0 (je suppose que a et b ne s'annulent pas en meme temps)
Et donc I(D) c'est l'ensemble des points tels que
a*kx/(x²+y²)+b*ky/(x²+y²)+c=0 et je continue le calcul... ça se termine bien
En regardant la solution de l'auteur, il ajoute :

Comme I est involutive , alors I(D) c'est l'ensemble des points tels que
a*kx/(x²+y²)+b*ky/(x²+y²)+c=0

Je ne comprends pas pourquoi il faut l'hypothèse de l'involution???

Merci pour votre aide

Stéphane

Tu as une relation sur les points de ta droite. ax+by+c=0.
A priori, remplacer x par kx/(x²+y²) et y par ky/(x²+y²)
à mon avis, cela n'a pas de sens. Appeler x,y les coordonnées du point image a pour conséquence la confusion.

Moi, j'écrirais : X=kx/(x²+y²) et Y=ky/(x²+y²)

Le fait que ax+by+c=0 ne t'autorise nullement à écrire aX+bY+c=0 ; ça n'a pas de sens ! Ce qu'il faut faire c'est exprimer x et y en fonction de X et Y et remplacer ALORS x et y dans ax+by+c=0 par leurs expressions respectives fonction de X et Y.

Mais c'est précisément le fait que la transformation soit involutive qui autorise l'écriture de :

x=kX/(X²+Y²) et y=kY/(X²+Y²)

sans aucun calcul, et on peut alors remplacer x et y dans l'équation ax+by+c=0 pour obtenir l'équation :

akX/(X²+Y²)+bkY/(X²+Y²)+c=0

équation en X et Y qui représente le cercle !

Plus généralement, si tu as une transformation géométrique : X=F(x,y), Y=G(x,y). Le fait qu'une certaine figure ait pour équation : H(x,y)=0, n'autorise absolument pas à en déduire H(F(x,y),G(x,y))=0 !
Au contraire, il faut "inverser" les formules et trouver F' et G' donnant x et y en fonction de X et Y :
x=F'(X,Y)
y=G'(X,Y)

Alors, l'équation H(x,y)=0 t'autorise à écrire :
H(F'(X,Y),G'(X,Y))=0

Dans le cas d'une involution, les formules décrivant F' et G' sont respectivement les mêmes que celles qui décrivent F et G. Ceci te permet donc d'écrire H(F(X,Y),G(X,Y))=0. Mais c'est uniquement parce que la transformation est involutive. Dans tous les autres cas, ce serait tout simplement faux !