Inverse d'une matrice issue de discrétisation de l'opérateur

[Kapouet]

Bonjour à tous !

Alors j'ai besoin d'un petit peu d'aide pour résoudre un exercice qui me pose vraiment problème...

On considère "l'équation de Poisson" 1D



avec les conditions aux bords

.

Par intégration directe, avec un petit artifice de calcul qui consiste simplement à permuter l'ordre d'intégration d'une intégrale double, on peut écrire la solution à partir de la fonction de Green du problème:

où .

Jusque là pas de problème, ça se complique pour moi quand on considère le système linéraire obtenu en discrétisant le problème (en vue d'une résolution numérique par exemple). La dérivée seconde est approchée avec une formule de différence centrée:

de sorte que le problème discret peut s'écrire, ayant pris en compte les conditions aux limites :

où est une matrice bande de dimension NxN si il y a N+2 points de discrétisation (en effet, les points aux bords ne rentrent pas dans le système puisqu'on connait leurs valeurs). La matrice vaut 2 sur la diagonale, et -1 sur les diagonales suppérieures et inférieures, et 0 partout ailleurs.

Le problème est de calculer . La seule indication que j'ai est que je dois m'inspirer de ce qui a été fait dans le cas continu pour obtenir la solution à partir de la fonction de Green. Pour ce faire, le seul "truc" était l'inversion de l'ordre d'intégration et je vois pas trop comment je pourrais m'inspirer de ça pour trouver ?

Enfin le prof nous a donné la réponse qui est (à un facteur près, le prof était plus très sur) . Je vois bien que ça "ressemble" à la fonction de Green mais je vois pas du tout comment je pourrais calculer cette matrice inverse !

Si quelqu'un sait comment faire et pouvait me mettre sur la voie ce serait super sympas :briques:

Merci beaucoup pour toute aide éventuelle :happy2:

[mathelot]

Bj,

quelques remarques:
malgré les apparences, la fonction G est (localement) simplissime
par exemple et c'est donc juste une fonction
localement un polynome de degré 2

si f est de classe , on peut toujours subdiviser l'intervalle d'intégration en n morceaux, intégrer deux fois par parties pour obtenir
du f'' et exprimer f'' avec sa différence divisée d'ordre 2 ?

On peut toujours faire une partition de en faisant jouer un rôle
à la diagonale d'équation

ou alors

je me suis complètement planté. A ce moment là, il suffirait
de dériver y(x) "sous le signe somme" et de remplacer la dérivée
partielle seconde de G (relativement à x) par sa différence divisée d'ordre 2 ?

autre question
est-ce qu'il faut s'attendre à récupérer des termes de bord sur la diagonale
d'éuqation ?