Interversion limites - Séries entières

[Lostounet]

Bonjour,

J'ai quelques questions de cours en ce qui concerne un exercice sur les séries entières.

Je veux faire passer une limite à l'intérieur d'une "somme infinie" et j'ai envie que cela soit la somme des limites.


On me demande le rayon de convergence j'ai dit que ça valait 1 mais pas trop convaincu de ma justification (j'ai utilisé la limite sup des (an) constants...)

Ensuite on me demande la limite de cette somme lorsque z est un réel qui tend vers 1-...

Ce que j'aimerais faire c'est dire que cela vaut +l'infini. J'ai donc tenté d'appliquer le théorème d'interversion des limites... qui demande une convergence uniforme que je n'arrive pas à prouver.

Edit: pourquoi pas une minoration...
Merci

[Ben314]

Salut,
Déjà, le seul truc mathématique de ta prose déconne (pas les bons indices/exposants...)

Sinon, pour le rayon de convergence, comme beaucoup d'étudiants dans un cas pareil, je trouve que tu utilise un peu "un bulldozer pour écraser une mouche".
Si est un réel de [0,1[ alors la série à termes positifs est trivialement majorée par (on a ajouté des termes...) qui est convergente. Donc la série de départ est convergente et ça assure que le rayon de convergence R de la série est . Ceci étant vrai pour tout on a .
D'un autre coté, si alors est trivialement divergente et ça assure que .

Concernant la limite quand z->1, je vois pas l'intérêt de se faire c... avec des permutations de limites dans un cas pareil vu qu'on s'en sort à l'aise à l'aide de deux constatation "archi basiques" :
- Que peut tu dire du signe de f'(x) pour x réel de [0,1[ ? Qu'en déduit tu ?
- Pour n fixé, que peut tu dire de f(x) par rapport à (pour x réel de [0,1[) ? Qu'en déduit tu ?

[Lostounet]

Hello Ben,
f(x) > Pn(x) pour n fixé
et f'>0
Désolé de ma nullité mais à quoi nous sert la croissance de f?
Si elle est minorée par les Pn(x) qui tendent vers (n + 1) lorsque x tend vers 1- et qu'ensuite on refait tendre n vers + l'infini (sans rigueur aucune).

[Ben314]

Le f'>0 sur [0,1[, il permet de dire que f est croissante sur [0,1[ donc que la limite "bête" existe dans (i.e. éventuellement infinie).
C'est effectivement pas indispensable vu qu'on pourrait faire appel à la notion de limite inférieure qui elle, existe forcément. (mais ça rend le truc encore plus "basique").
Ensuite, le deuxième argument montre que pour tout entier .

Après, vu la longueur de la prose, je sais pas si ça vaut le coup de chercher "mieux" (éventuellement on peut chercher "plus théorique"...)

[Lostounet]

D'accord merci bien Ben !

Mais quelques questions basiques persistent: peut-on faire rentrer une partie réelle dans une série?
Dans quels cas peut-on dire que la série des conjugués c'est le conjugué de la série? Je me doute bien que l'on peut mais pourquoi.

Quelle justification précisément?

Et aussi: peut-on pour un produit infini convergent, composer par le Logarithme (complexe?)? Je me méfie beaucoup des infinis.

[Ben314]

Tout simplement parce que, une série, c'est une limite (de somme partielles) et que la fonction "conjugué" est continue donc tu peut "permuter" limite et conjugaison (et évidement tu termine en disant que le conjugué d'une somme finie, c'est la somme des conjugués)

Exactement pareil pour la partie réelle : z->Ré(z) est continue => on peut permuter (et R-linéaire donc la partie réelle d'une somme finie est la somme des parties réelles)

[Lostounet]

D'accord merci bien !
(Je reviendrai avec d'autres questions de cours)

[Ben314]

(Quasi) idem pour un produit infini qui n'est jamais qu'une limite de produits finis : comme la fonction logarithme est continue, tu peut permuter limite et log.
Attention évidement au fait que le log (réel) n'est défini que sur ]0,+oo[ donc à ne pas écrire de conneries du style

Après, si c'est du log complexe que tu parle, il est lui aussi continu sur son domaine de définition (souvent C privé d'une demi droite, mais ça pourrait être autre chose) donc on permute aussi "les doigts dans le nez" limite et logarithme.
Par contre, le "piège", c'est que dans C, Log(ab) n'est pas forcément égal à Log(a)+Log(b) (c'est égal à prés) d'où une extrême prudence sur les Log d'un produit, mais c'est pas un problème spécifique aux produits infinis...

[Lostounet]

Bonjour,

Pour la suite de l'histoire, on me demande pourquoi il est impossible d'avoir un prolongement analytique de la somme de cette série sur un connexe U qui intersecte D(0;1) (mais qui lui est bien entendu pas égal).
ie. une fonction g analytique égale à f sur le domaine U inter D(0;1) définie sur un connexe plus gros.

Sachant que j'ai prouvé que f était protégée par un bord tout divergent (plus précisément:
limite de f(tw) en 1- = l'infini complexe en tout point du bord.

Comment puis-je le justifier proprement? J'ai dit que comme g était analytique elle est développable en série entière au voisinage de chacun de ses points. En particulier, sur le bord (de f)... mais comment le formuler mathématiquement?

[Ben314]

Déjà, ça intéresserait de savoir "quoi c'est" que tu appelle "l'infini complexe" et de voir comment tu as prouvé ton résultat concernant la convergence radiale.

Ensuite, modulo que ton résultat soit juste (mais j'ai de gros doute vu la façon dont tu l'a formulé...) je te signale que, pour être analytique, au minimum du minimum, il faut être continue.
Et si une fonction f tend vers l'infini lorsque z->z0, il me semble bien que ça va pas être facile de faire un prolongement par continuité de f en z0...

[Lostounet]

Hello Ben,

On me demande d'étudier la limite lorsque t tend vers 1- de:
f(tw) avec w un nombre complexe solution de l'équation avec N un entier dans N*
(Remarque: la série c'est z^(2^k) cette fois et pas 3^k)

Ce que j'ai fait, c'est que j'ai constaté que pour tout naturel n >= N, w^(2^n) = 1, j'ai donc scindé la somme complexe en deux, selon que l'indice est plus grand ou plus petit que N.

Cela a permis de dire que f(tw) = (une somme complexe jusqu'à N) + (la somme des t^(2^n) à partir de N)

Et la somme de droite est une somme qui diverge vers + l'infini (réel)
C'est pour cela que j'ai parlé d'infini complexe (car on ajoute un complexe à l'infini réel )

[Ben314]

Dans ce cas :
a) Ça serait pas con de comprendre qu'entre ton tout point du bord de ton avant dernier message et ton un nombre complexe solution de l'équation du dernier, il y a comme qui dirait une certaine différence (voire une différence certaine...)
b) Ca serait pas con non plus d'éviter de faire comme "le matheux philosophe" et d'inventer des termes comme "l'infini complexe" sans en avoir d'autre définition que "ben..., j'ai un complexe plus un truc qui tend vers l'infini réel..." : "l'infini réel", c'est pas du tout un réel, mais une notation ayant un sens précis (pour tout A>0, blablabla...)
Bien sûr, on peut définir un "infini complexe" en prenant le compactifié d'Alexandrov de l'espace localement compact , mais a mon avis, c'est tout aussi bien de dire directement que, en module (donc dans ) ton truc tend vers (tu dit exactement la même chose à moindre frais...)

[Lostounet]

Oui j'en suis conscient, désolé pour mon manque de précision.
Je voulais tout simplement signifier ce que j'ai évoqué dans mon dernier message.

Concernant l'histoire de tout point du bord, j'ai l'impression que plus on agrandit N, et plus il y aura des points du bord concernés... mais du coup si en fixant N, j'ai montré qu'il y avait la somme f(tw) qui divergeait, je me suis dit que cela était vrai en tout point du bord...
C'est faux ?

En fait j'utilise des termes non précis, mais je le fais exprès: ça me permet de montrer comment j'ai réfléchi et de confronter à ce que tu proposes (comment il faut réfléchir).

[Ben314]

Concernant l'histoire de tout point du bord, j'ai l'impression que plus on agrandit N, et plus il y aura des points du bord concernés... mais du coup si en fixant N, j'ai montré qu'il y avait la somme f(tw) qui divergeait, je me suis dit que cela était vrai en tout point du bord...
C'est faux ?

Je suis a peu prés persuadé qu'il existe des "au bord" tels que existe et est finie.
Sauf que c'est tout sauf trivial à montrer et qu'on en a rien a f... concernant ton énoncé.
Tout ce que tu as à montrer, c'est que les du bord tels que sont dense dans le bord et ça permet de conclure vu que le truc sur lequel tu cherche (éventuellement) à étendre la fonction est un ouvert.

[Lostounet]

Ah c'est pour ça que ouvert c'est très important.
Car la densité va nous empêcher d'insérer des boules ouvertes centrées aux points du bord en lesquels la limite est finie !
C'est intéressant.

Je vais donc dire simplement que les z0 sont denses dans le bord, et qu'il existe donc des points en lesquels on ne peut pas centrer une boule ouverte...

[Lostounet]

Dans l'exercice ils disent: en déduire qu'il n 'existe aucun ouvert U connexe intersectant D(0;1) mais pas inclus dedans et g holomorphe sur U tq f = g sur l'intersection

Je pense humblement que c'est pas bien formulé, j'aurais préféré qu'ils incluent carrément le disque D(0;1) entièrement dans U. Pourquoi leur formulation est-elle aussi cohérente avec la définition du prolongement analytique ? (qui, dans mon bouquin, inclue le domaine de départ de la fonction f qu'on souhaite prolonger)

[Ben314]

A mon sens, si, c'est correctement formulé.
Après, le "pourquoi ne pas considérer que le disque D(0,1) dans U", je sais pas trop. Éventuellement pour faire réfléchir l'étudiant sur le fait que, vu la question posée, ça ne change rien au problème.

Sinon, ça peut dans certains cas être utile de "prolonger" (avec des guillemets) en perdant des morceaux de l'ensemble de définition de départ.
Par exemple, tu part de la fonction Log définie sur D(1,1). Tu peut la prolonger (pour de vrai) sur D(i,1) puis sur D(-1,1), mais ça "bloque" ensuite pour prolonger sur D(-i,1) vu que ce dernier disque chevauche le premier et qu'avec les 4 disques tu peut faire le tour de l'origine.
Mais tu pourrait continuer à "prolonger" (avec des guillemets) en enlevant le premier disque D(1,1) de l'ensemble de définition de la fonction...