Interversion limite et intégrale

[amstramgram]

bonjour à tous,

Je suis bloqué sur un problème d'interversion de limite et d'intégrale. Je cherche à calculer



ma fonction f est continue par rapport aux deux variables et tend vers 0 lorsque R tend vers l'infini pour presque tout t dans [0,1] (en fait, partout sauf en 0)

ma question est donc de savoir si je peux intervertir limite et intégrale... y aurait-il un théorème de convergence dominée pour des familles de fonctions non indexées par (i.e. des suites) mais par ?

[Arkhnor]

Salut.

Tu peux toujours utiliser le fait que une fonction f a une limite à l'infini ssi pour toute suite x_n tendant vers l'infini, f(x_n) tend vers la même valeur. (caractérisation séquentielle de la limite)

[amstramgram]

Désolé mais je vois pas trop comment faire avec des suites...

mais pour la convergence dominée, qu'en est-il ? aurais-je le droit de considérer la famille de fonctions et d'écrire :

pour tout R, pour presque tout ,

pour tout R, pour presque tout t, avec g intégrable sur [0,1]

par conséquent,

[Arkhnor]

Ce que je te propose c'est justement de ramener ton problème ou R est un paramètre réel qui tend vers l'infini, à un problème où R_n est une suite tendant vers l'infini, et où le théorème de convergence dominée s'applique.

[amstramgram]

ah je crois que je vois un peu mieux

Pour faire ça, il faut peut-être que je considère la suite de fonctions définie par avec une suite de réels > 0 qui tend vers l'infini quand n tend vers l'infini.

On a alors



et ensuite on conclue par convergence dominée appliquée à la suite f_n, c'est bien ça ?

Si c'est bel et bien ça, merci beaucoup, je devrais m'en sortir

[Arkhnor]

On a en effet ça, à une subtilité près, c'est que tu dois le faire pour une suite quelconque R_n tendant vers l'infini et montrer que la limite ne dépend pas du choix de la suite, ce qui ne pose aucun problème ici. (je t'invite à relire ton cours de topologie si ça n'est plus tout à fait clair)