Intervalle de confiance

par **loloc** » 03 Mai 2006, 13:29

Bonjour tout le monde ,

voila mon exercice :

on considere un echnantillon de 100 personnes , representatif d'une population pr chacune d'elle , on mesure la glycemie une moyenne de 1.2 g /L et un ecart type de 0.13 g/l pr l'ensemble de ces 100 personnes.

Donner un intervalle de confiance à 95 pour cent pr la glycemie dans la population complète.;

Voila moi je pensais faire ceci :

Ici E(X) = 1.2 dc E(M) = 1.2
Sigma (X) = 0.12 dc SIGMA (M) = 0.12/ racine de 100= 0.12/10=0.012

Puis je mets ça ds une loi normale ,

a la fin je trouve

a/0.012 = 1.96 dc a = 0.012*1.96=0.02352

Donc mon intervalle serait 1.2 - 0.02352 et 1.2 +0.02352

Voila je voulais savoir si vous pensiez que mon raisonnement et mon resultat était bon :)

Merci beaucoup d'avance pr votre aide qui m'a deja été bien precieuse

par **serge75** » 03 Mai 2006, 14:20

Je ne comprends pas tout à fait ce que tu appelles M et X, et par la même je ne comprends pas vraiment ton raist.

précisons nos hypothèses : le taux de glycémie suit une loi normale de moyenne m (inconnue) et d'écart type s=0,13 (mesuré expérimentalement).
On considère X1, X2, ... , X100 cent v.a. indépendantes suivant la même loi que X, et on considère la variable aléatoire Y=(1/100)(X1+...X100).
Y suit alors une loi normale de paramètres m et s/racine(100)=0,013.
Donc (Y-m)/0,013 suit une loi normale centrée réduite.
Je cherche alors r tel que

. Je prends ma fonction de répartition de la loi normale, notée G, et je cherche donc r tel que G(r)-G(-r)=0,95. Sachant G(-r)=1-G(r), cela m'amène à chercher 2G(r)-1=0,95, soit encore G(r)=0,975. On obtient finalement r=1,96.
Finalement, j'obtiens

.
Or, il y a équivalence entre

et

, ce qui s'écrit aussi (et c'est là le pas le plus subtil) :

De là je dis : quelquesoit la réalisation de Y que je vais effectuer, (ie quelquesoit le sondage que je vais faire), m a 95% de chances de se trouver entre Y-0,02548 et Y+0,02548. Prenons par exemple, à tout hasard (lol) le sondage qui a été effectué : j'obtiens donc le résultat que tu donnes.

En résumé, tes résultats sont justes, mais j'ignore comment tu les as obtenus, à cause d'une rédaction défaillante.
En espérant t'avoir aidé.
Serge

par **loloc** » 03 Mai 2006, 14:23

Edit : je pense m'etre trompé, on nous donne l'écart type pr l'échantillon dc il me faut calculer l'écart type pr la poulation dc sigma (x) = sigma (M ) * racine de N
sigma x = 0.12*10 = 1.2

Ce qui me ramenerait à : a/1.2 = 1.96 -->2.352

Intervalle de 1.2 - 2.352 et 1.2 + 2.352 , hhhum hum c'est faux encore une fois lol :s:s

Si une ame charitable pouvait m'éclairer ça me ferait bien plaisir lol :happy2:

par **loloc** » 03 Mai 2006, 14:27

lol serge j'ai posté en meme temps ( serge c'est le nom de mon pere , bref on s'en tapos :D) ...

Oui j'ai fait comme toi mais etant surdoué j'ai abrégé les calculs ( euh non spo vré :p)

Alors je suis d'accord avec toi .. pr moi M correspond a l'échantillon et X la population enfin c'est ce qui est ds mon cours ( très mal fait par ailleurs ^^)

La formule qui lie l'ecart type d'une pop et d'un echantillon , c'est quoi exactement ?

sigma (M) = sigma (X)/ racine de n ?

Car si c'est ça il ns donne l'écart type de M dc je pensais ( après ma premeire reponse ) qu'il fallait multiplier par 10 et non divisé , tu peux m'éclairer sur ce point s'il te plait ? :)

Merci de ton aide serge ;)

par **serge75** » 03 Mai 2006, 14:43

tu fais une confusion de vocabulaire, je crois.
Petit rappel de cours :
Si X et Y sont deux VA INDEPENDANTES de variances respectives Vx et Vy, alors la variance de X+Y est Vx+Vy.

Qu'appelle-t-on un échantillon d'une variable X ? c'est une suite de n VA indépendantes ayant toutes même loi que X.
De là un échantillon est une VA non pas à valeurs dans R mais dans R^n.
Ce qui nous intéresse ici est la variance de leur somme S, ou de leur moyenne Y.
Pour S, d'après le résultat rappelé ci-dessus, sa variance est nV (où s est la variance de X). Donc si s est l'écart-type de X (s=racine de V), alors l'écart type de S est s.racine(n).
Pour Y, tu divises par n et son écart-type est dons s/racine(n).
ai-je répondu à tes questions .?

par **loloc** » 03 Mai 2006, 14:50

mmh oui je crois avoir compris

--> dans mon cours j'ai : ecart type de X = ecart type de M sur racine de n

Donc a quoi correspond X et a quoi correspond M ?

Désolé c'est peut etre des questions bêtes mais c'est pas très clair tout ça dans mon esprit :/

Merci :happy2:

par **serge75** » 03 Mai 2006, 15:00

M correspond sans doute à ton échantillon, et X à ce que j'ai appelé Y.

par **loloc** » 03 Mai 2006, 15:07

Désolé de te réembeter serge mais dans l'exercice il nous donne l'écart type de l'echantillon et nous demande de trouver l'écart type dans la population entiere alors d'après nos formule ( Sigma (m) = sigma(x) /racine de n, il faut bien qu'on trouve sigma X ( ou Y) , je comprends pas pourquoi il faut diviser et non multiplier , je suis désolé de te faire perde du temps avec moi ( les maths c'est pas mon fort :/)

par **serge75** » 03 Mai 2006, 15:34

Relis mon premier post :
Je fais l'hypothèse que l'écart type expérimental de l'échantillon (càd l'écart type statistique, et non probabiliste) est l'écart type de la population (ie si je prends un individu au hasard, son taux de glycémie suit une loi normale de moyenne m inconnue et d'écart type s que je suppose par hypothèse être le même que l'écart type statistique de mon échantillon).
Par contre, l'écart type de la moyenne (X1+...+Xn)/n est s/racine(n).

je résume :
On a une population dont la loi de tel ou tel caractère statistique est une VA X de moyenne m (inconnue) et d'écart-type s (inconnu lui aussi).
Je fais un sondage, donc je tire au hasard n personnes, et regardes la valeur de X obtenue pour chacune de ces n personnes : j'obtiens x1,...xn.
De là, j'ai une moyenne empirique

et un écart type empirique

Je fais alors l'HYPOTHESE suivante : X suit une loi normale de moyenne m inconnue et d'écart type

, où

est l'écart-type expérimental.
Pour chaque échantillon (X1,...,Xn) de X (cad suite de VA indép suivant la même loi que X), j'associe la variable aléatoire Y égale à la moyenne des Xi, et c'est cette variable aléatoire Y (et non X) qui a pour écart type

, alors que sa moyenne reste m (toujours inconnue).
Ca te convient plus comme ça ?

par **loloc** » 03 Mai 2006, 17:08

merci serge je crois avoir bien compris maintenant .. mnt que tu ml'as expliqué ça, mon M doit surement correspondre à "moyenne" enfin bn bref ce n'est pas très important

Merci beaucoup pr ton aide , j'espere que je ne t'ai pas pris trop de temps , bonne fin de journée ;)

Edit : autre question en stats :marteau: , quand est ce qu'on fait un test bilaterale et un test unilaterale ? :$:$

par **serge75** » 04 Mai 2006, 12:14

Ca dépend de ce que tu veux tester, et la réponse n'est pas dans les maths, mais dans l'analyse de ta situation concrète.
Exemple 1 : tu as une usine qui fabrique des machins, et elle veut qu'il n'y ait pas plus de 1% de sa production qui soit défectueuse>>> test unilatéral. Ton test ne comprend qu'une seule inégalité à savoir defectueux<0,01.
Exemple2 : tu as une usine qui fabrique des pièces dont la longueur doit être de 100 mm à 1% près >>> test bilatéral (tu testes 0,99

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