Intervalle de confiance sur une moyenne d'un échantillon

[elodieb]

Bonjour !

J'ai un échantillon de 49 enfants sur lesquels on relève la taille.(X)
X suit une loi normale dont on ne connait pas les paramètres.
On me demande de calculer moyenne et ecart type, je trouve m=158 et e =6
Je trouve comme intervalle de confiance a 95% :

[m-1.96*6/racine(n); m +1.96* 6/racine(n)]
[156.3 ; 159.7]

On me demande a partir de quel n, l'intervalle sera inferieur a 1.
j'en deduis que 1.96*e/racine(n) doit etre inferieur a 0.5

est ce que l'ecart type de mon echantillon, sera l'ecart type sur la population ?
puis je poser 1.96*6/racine(n) < 0.5 ?

Sinon, comment faire ?

Merci beaucoup

[lyceen95]

Sinon, comment faire ?
Tu as posé la bonne question. Faute de mieux, on est obligé de supposer que l'E.T. va rester le même.

[elodieb]

Mais en réalité, si je prend 2 echantillons differents, j'aurais 2 ecart type different?
Je dois me baser la dessus pour resoudre mon exercice ?

[Sylviel]

Oui, pour résoudre l'exercice tu dois supposer que ton estimateur de l'écart-type est exact.

Détaillons :
- l'écart-type de l'échantillon est un estimateur de l'écart-type de la population
- sur ton échantillon de 49 enfant tu arrives à un demi intervalle de 1.68.
- tu voudrais avoir une idée de la taille du groupe nécessaire pour avoir un demi intervalle de taille 0.5
- on suppose l'écart-type de la population égal à l'écart-type de l'échantillon, et on en déduis n = ...

Bien sûr si tu as un nouveau groupe de taille N > 49, tu estimeras a nouveau la moyenne et l'écart-type pour avoir un demi intervalle de confiance qui sera aux environs de 0.5.

Notons que la fiabilité de 0.95 de l'intervalle de confiance est arbitraire (on pourrais choisir 0.9 ou 0.99...) donc être hyper précis sur le N nécessaire pour avoir un demi intervalle de taille 0.5 n'a pas beaucoup de sens. Du coup l'approximation faite ici n'est pas très grave. L'important est de réaliser que pour passer de 1.68 à 0.5 d'incertitude il faut beaucoup plus que multiplier par 3 la taille de l'échantillon !

[elodieb]

Ok, c'est très clair, merci !
Je trouve n environ = 553