Intersection d'une droite et d'un cercle

[MrKnightley]

Bonjour tout le monde,

Voici l'énoncé d'un exercice que j'essaie de résoudre :

1) Soit Q=(-1, 0). Fixons t un réel et notons T=(0, t). Déterminer l'équation cartésienne de la droite (Dt) qui passe par Q et T.

J'ai procédé ainsi :

(Dt) : y = mx + p
Les coordonnées de Q vérifient 0 = -m + p, donc p = m.
Les coordonnées de T vérifient t = p, donc p = m = t.

(Dt) a donc pour équation y = tx + t

2) Montrer que (Dt) intersecte le cercle unité C en deux points : Q et P, dont on déterminera les coordonnées (x, y).

Le cercle unité a pour équation x² + y² = 1, donc je résous le système :

• x² + y² = 1
• y = tx + t

Ce qui me donne :

x² + (tx +t)² = 1
x² + t²x² + 2t²x + t² - 1 = 0
x² + x(t²x + 2t²) + t² - 1 = 0

Et là je bloque... Je ne sais pas comment m'en sortir avec toutes ces variables. Le calcul du discriminant Δ est trop compliqué pour que j'arrive à en tirer quelque chose d'utile.

Quelqu'un aurait-il une solution ? Merci d'avance !

[aviateur]

Bonjour
Il serait bien d'écrire ton équation sous la forme
n'est pas compliqué mais de toute on peut s'en passer. En effet x=-1 est racine évidente.
Pour avoir l'autre racine tu peux utiliser la somme des 2 racines qui vaut -b/a ou le produit qui vaut c/a
.

[MrKnightley]

Merci, Aviateur. J'ai l'équation :

x² + x(t²x + 2t²) + t² - 1 = 0 avec :

a = 1
b = (t²x + 2t²)
c= t² - 1

Effectivement, les relations entre les racines sont bien pratiques.

Donc X1 * X2 = c/a
..................... X2 = - c/a = -t² + 1

En remplaçant X2 dans l'équation de la droite : (Dt) : y = tx + t

On trouve y = t(-t² + 1) + t
......................y = -t^3 + 2t

Parfait, je te remercie.

[Lostounet]

Merci, Aviateur. J'ai l'équation :

x² + x(t²x + 2t²) + t² - 1 = 0 avec :

a = 1
b = (t²x + 2t²)
c= t² - 1

Effectivement, les relations entre les racines sont bien pratiques.

Donc X1 * X2 = c/a
..................... X2 = - c/a = -t² + 1

En remplaçant X2 dans l'équation de la droite : (Dt) : y = tx + t

On trouve y = t(-t² + 1) + t
......................y = -t^3 + 2t

Parfait, je te remercie.

Pas si vite !
Comment ça se fait que b dépend de x ?!

Le coefficient devant x^2 ne devrait pas être 1 mais (1+t^2)....

[MrKnightley]

Ah, oui je n'ai pas factorisé les bons éléments. Je trouve donc :

(1 + t²)x² + (2t²)x + t² - 1 = 0

X1 * X2 = c/a
..........X2 = - c/a
..........X2 = - (t²-1) / (t² + 1)

Je pourrais factoriser X2 en - (t - 1)(t+1) / (t + i)(t- i) en utilisant les complexes, mais je ne vois pas trop comment simplifier ça...

[chan79]

salut
x²+(tx+t)²=1
Pour x=-1, l'équation est vérifiée (solution évidente si on la voit...)
ensuite x²-1+t²(x+1)²=0

[aviateur]

Bonjour
Q=(-1,0) est sur le cercle, c'est pour ça que -1 est racine évidente.
Ensuite l'autre racine est bien il n'y pas vraiment plus simple.

Alors y=t+xt donne pour x=-1 y=0 (on retrouve Q)
et pour x=(1-t^2)/(1+t^2) on trouve y=(2 t)/(1 + t^2)

[Lostounet]

Sinon le calcul de delta n'est pas si difficile... pas
Indispensable de faire appel à des racines évidentes ou des astuces...
(1 + t²)x² + (2t²)x + t² - 1 = 0

Delta = 4t^4 - 4(1+t^2)(t^2-1)
= 4t^4 - 4[ t^2 - 1 + t^4- t^2]
= 4

x1=(-2t^2 - 2)/(2(1+t^2)) = -1
x2= (-2t^2+2)/(2(1+t^2))= (-t^2+1)/(1+t^2)

[chan79]

pas Indispensable de faire appel à des racines évidentes ou des astuces...
(1 + t²)x² + (2t²)x + t² - 1 = 0

Salut
Je suis d'accord; la méthode normale est de passer par le calcul de .
Sinon, on a une interprétation géométrique.

La droite Dt a comme ordonnée à l'origine t et comme pente t . Elle passe par C et A et recoupe le cercle en B.
Les coordonnées de B sont
t=tan(/2) (angle inscrit égal à la moitié de l'angle au centre)
D'après les formules du demi angle:
les coordonnées de B sont:

[MrKnightley]

Ah, oui, je n'étais pas arrivé à simplifier Δ, mais on tombe bien sur un entier au final. Merci beaucoup pour votre aide, je vais m'attaquer à la suite !