Intersection d'Espaces Vectoriels

[lyonnaiserie]

Salut,

c'est la première fois que je poste ici. Je vous avoue que je suis un peu perdu avec une exercice de mathématiques. Je suis en 2ème année de maths ece.

Voilà ma question, soit F={ (x,y,z) E R^3 / x-3y+4z = 0}
G= Vect (1,0,0)

1. il faut montrer que FnG = {0} puis
2. soit w=(a,b,c) E R^3, Montrer qu'il existe u E F et v E G / w=u+v. Montrons que u et v sont uniques.


C'est le type d'exo assez atypique en voie éco. C'est la première partie de mon exo et j'ai aussi du mal à saisir le reste. Ce qui pourrait m'aider, c'est comprendre ces 2 premières questions.

[lyonnaiserie]

Svp, une petite réponse. C'est un long exo et j'ai quelques khôles à réviser après. :we:

[klevia]

Pour la 1ère question c'est facile,
soit x ppartenant à F inter G
alors x appartient à G d'ou x(x1,0,0)
mais x appartient aussi à F d'où x1-3*0+4*0=0
d'où x1=0

d'où x (0,0,0)
Pour la 2:
j'écriarais un truc du style:
dim G = 1
dim F = 2
d'où IR^3 = F + G ( somme disjointe)
d'ou soit x appartenant à IR^3,il existe u appartenant à F et v appartenant à G tel que x = u +v
Pour l'unicité, tu supposes qu'il y a 2 décomposition de x , et tu montres par différence qu'en fait ce sont forcément les mêmes !!

[lyonnaiserie]

Pour la 1ère question c'est facile,
soit x ppartenant à F inter G
alors x appartient à G d'ou x(x1,0,0)
mais x appartient aussi à F d'où x1-3*0+4*0=0
d'où x1=0

d'où x (0,0,0)
Pour la 2:
j'écriarais un truc du style:
dim G = 1
dim F = 2
d'où IR^3 = F + G ( somme disjointe)
d'ou soit x appartenant à IR^3,il existe u appartenant à F et v appartenant à G tel que x = u +v
Pour l'unicité, tu supposes qu'il y a 2 décomposition de x , et tu montres par différence qu'en fait ce sont forcément les mêmes !!

Merci Clevia, il y a juste 2 choses que je comprends pas très bien:

"d'où IR^3 = F + G ( somme disjointe)" comment on peut dire ça?

et je ne comprends pas bien comment tu résouds le problème de l'unicité


Merci d'avance pour le complément de réponse.

[klevia]

pfff, je suis nulle, c'est pas somme disjointe mais somme directe ...
la honte ...

Quand à l'unicité: Soit x=u+v et x=u'+v'
alors 0=(u-u') + (v-v')
d'où u'-u = v - v '

or u'-u appartient à F et v-v' appartient à G
d'où u'-u appartient à F inter G
d'où u'-u = 0 et u=u'
de même pour v et v'

[lyonnaiserie]

Oui merci. Je ne connaissais pas ce truc des sommes directes qui me résoud tout le 2.

La 3ème question est la suivante

F'={ (x,y,z) E R^3 / x-y-z=0}
G'={ (x,y,z) E R^3 / 2x+y+z=0}

Déterminer une base de F'nG'. Montrons que u' E F' et v' E G' tel que w=u'+v'. Les vecteurs u' et v' sont ils uniques?

Je détermine la base de F'nG' qui est (si je me trompe dites le moi) (0,1,-1) et là je suis vraiment perdu. Je ne peux plus utiliser les sommes directes.
Que faire?

[lyonnaiserie]

Quelqu'un à une idée svp?