Intersection de deux plans !

[vbihler]

Bonjour ! Je cherche comment déterminer l'équation de la droite qui résulte de l'intersection de deux plans non parallèles dans l'espace. Mes plans ont tout deux des équations de la forme ax+by+cz+d=0
Merci d'avance !

[Doraki]

Est-ce que tu peux trouver un point sur la droite ?

[vbihler]

En fait le probleme est le suivant. J'ai deux droites non parallèles et non sécantes dans l'espace. J'ai déterminé un point et vecteur directeur pour chacune des droites. Puis j'ai déterminé un vecteur orthogonal aux deux vecteurs directeurs. J'ai ensuite sorti un plan résultant du déterminant du vecteur directeur d'une droite, de son vecteur orthogonal et du vecteur AM (A étant le point de la droite déterminé et M un point de coordonnées (x,y,z)), puis j'ai fait la meme chose pour l'autre droite. La droite orthogonale aux deux droites d'origine est bien l'intersection des deux plans ?

[Doraki]

J'ai ensuite sorti un plan résultant du déterminant du vecteur directeur d'une droite, de son vecteur orthogonal et du vecteur AM (A étant le point de la droite déterminé et M un point de coordonnées (x,y,z)

de son vecteur orthogonal ? Quand tu as une droite il y a plein de vecteurs qui y sont orthogonaux.
Il y a également plein de vecteurs directeurs mais c'est moins grave.

Donne des noms à tes trucs.
Tu as une droite d1, une droite d2.
Tu as un point A sur la droite d1,
un vecteur directeur u1 de la droite d1 ; un vecteur directeur u2 de la droite d2.
Tu as calculé un vecteur n orthogonal aux vecteurs u1 et u2.
(donc c'est un vecteur orthogonal aux droites d1 et d2)

Et il faut dire "j'ai calculé l'équation du plan P1 contenant la droite d1 et dirigé par le vecteur n, en disant que M est dans P1 les vecteurs AM, n, et u1 sont coplanaires det( AM, n, u1) = 0", sinon on a aucune chance de te comprendre.

La droite orthogonale aux deux droites d'origine est bien l'intersection des deux plans ?

Quelle droite orthogonale aux deux droites d'origine ??
N'importe quelle droite dirigée par le vecteur n est orthogonale aux droites d1 et d2 (sans nécessairement être sécantes avec elles)

L'intersection des plans donne bien une droite d.
Comme le vecteur n dirige les deux plans, il dirige aussi la droite d.
Donc d est l'une des droites orthogonales aux droites d1 et d2.

[vbihler]

Effectivement, mon language mathématique n'est pas encore très juste... même pas du tout. Je sors d'un BTS et je suis maintenant en prépa ATS... et effectivement, je ressens bien que ma rigueur mathématique en prend pour son grade ! Cette année de prépa est justement là dans le but de redresser l'édifice et de le consolider... Heureusement que je suis tombé sur toi, tu as tout à fait compris mon probleme !
Donc peut etre pourrais tu mieux comprendre ma question initiale... à partir de toutes ces données, comment calculer l'équation de la droite obtenue par l'intersection des deux plans ?
Merci

[Ben314]

Salut,
Je me demande si ton problème ne réside pas dans cette question :
"Qu'appelle tu UNE équation de la droite ?"
En dimension 3, lorsque l'on a une équation de la forme ax+by+cz+d=0, ben ça définit systématiquement un plan (c'est une équation cartésienne du plan). Si tu veut définir une droite à l'aide d'équations de cette forme, ben forcément il te faut deux équations et pas une seule (en fait tu décrit forcément ta droite comme l'intersection de deux plans).

A la rigueur, tu peut chercher une équation paramétrique de ta droite, c'est à dire un système de 3 équations de la forme
x=at+b
y=ct+d où t est un réel quelconque
z=et+f
Si tu veut obtenir ce type d'équation partant de tes deux équations de plan, tu prend par exemple x=t puis tu cherche à exprimer y et z en fonction de t : tu as 2 équations et seulement 2 inconnues (car, comme tu accepte d'écrire les résultats en fonction de t, t n'est plus une inconnue).
Si le système est "bancale", c'est que ta droite est parallèle (au sens large) au plan Oyz et dans ce cas tu pose y=t et tu cherche x et z en fonction de t...

[vbihler]

Hm merci beaucoup pour la réponse Ben314 ! Je vais donc achever l'exercice. Il n'est pas demandé de chercher un système d'équation paramétrique donc j'en profite ! Tu viens d'éclaircir une notion qui jusqu'alors était resté floue pour moi ! Merci beaucoup.