Intersection des médianes d'un triangle

[Martaaa]

Bonjour,

je m'intéresse à la démonstration de "les médianes d'un triangle sont concourantes" de manière non vectorielle. Il y en a une de disponible sur wikipedia :

"Il existe une autre démonstration de cette propriété "à la règle et au compas", purement géometrique, n'utilisant ainsi aucune connaissance vectorielle" :

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9diane_(g%C3%A9om%C3%A9trie)

Seulement, au début, il est écrit "On montre via un raisonnement par l'absurde que G est bien défini car les trois médianes se coupent deux à deux".

J'ai tenté de faire ce raisonnement, mais je n'y arrive pas.
J'ai supposé que les médianes (AK) et (BJ) étaient donc parallèles, et mon raisonnement s'arrête là...
Sur le dessin je vois bien que sinon A aurait deux emplacement, mais je ne vois pas comment le démontrer !

Merci d'avance !!

[Thomas Joseph]

Tu montres que le point de concours des deux premières médiane est aux 2/3 de chacune d'elle (théorème des milieux puis Thalès)
Tu montres de même qu'il est aux 2/3 de la troisième et d'une des deux premières.

Tu as alors terminé.
(Je ne suis pas allé voir ton lien, je ne réponds peut-être donc pas exactement à ta question, mais c'est bien une démo non vectorielle comme tu le demandes ... pour la petite histoire, cette question était à l'écrit du capes cette année)

[Martaaa]

Merci, mais je me demandais comment démontrer que deux médianes d'un triangle sont sécantes, par un raisonnement par l'absurde !

[Thomas Joseph]

ABIJ est un quadrilatère (I et J points du triangle, I sur médiane issue de A, J sur médiane issue de B)
si les médianes sont parallèles, alors ce quadrilatère est plat, d'où BAC plat.
Ce qui est contradictoire (pour autant que ABC soit supposé non plat).

[sxmwoody]

Bonjour...sans plagier ci-dessus , par la géométrie on utilise la construction de parallelogramme ( réalisé à partir de 2 côtés du triangle , d'ailleurs un procédé bien pratique pour tracer une médiane sans décimètre) et la propriété des médianes (se coupent en leur milieu).
Autre possibilité : à partir de l'isobarycentre et son associativité...rappel on peut remplacer 2 points par un troisième affectés de la somme des coeff. de ces 2 points.
La démonstration du point de concours ne pose alors aucun problème !!!