Intersection de cercles.

par **rouliaan** » 22 Juil 2008, 08:29

Bonjour tout le monde,

J'ai un problème plus qu'énervant que je n'arrive pas à résoudre de façon simple. :mur:

Je vais essayer d'être clair, mais sans figure c'est pas facile.

J'ai deux cercles qui se coupent et forment deux intersections. Je connais leurs rayons et leurs centres.
Ils forment deux lunes. Je cherche le troisième cercle qui passe par les deux intersections et qui découpe une des lunes en deux parties égales en terme d'aire.

Bon je sais pas si c'est clair.. j'attends vos remarques.

julien

par **Bebs** » 22 Juil 2008, 08:49

Tu devrais nous ajouter une figure, si tu peux. Avec paint, tu peux nous faire un schéma vite fait, non ?

par **john32** » 22 Juil 2008, 08:51

Je pense qu'avant la figure on peut déjà penser a résoudre le système
{ (x-x1)^2 +(y-y1)^2 = r1^2
{ (x-x2)^2 +(y-y2)^2 = r2^2

afin de trouver les points d'intersection des deux cercles. Le problème c'est que je pense que la résolution est différente selon le nombre de solutions (1 ou 2).

par **Bebs** » 22 Juil 2008, 08:58

A vue d'il, tu auras besoin de calculer des intégrales (pour avoir l'aire) et calculer un système (pour avoir l'équation du 3e cercle) où les inconnues seront le centre et le rayon.

par **rouliaan** » 22 Juil 2008, 09:11

Ok j'ai bien vu l'orientation que prennent vos solutions, mais la question était est ce qu'il n'y a pas de façon moins couteuse (en terme de temps de calcul pour une machine). Une méthode algébrique par exemple. Ou je sais pas quoi :)

PS: Je n'arrive pas a attacher la figure que j'ai tracée ??

par **Bebs** » 22 Juil 2008, 09:16

En fait, j'ai tenté de faire un dessin, et je me suis rendu compte que j'ai l'impression que c'est impossible... ou alors, j'ai mal compris l'ennoncé.

par **Imod** » 22 Juil 2008, 10:23

Une illustration :

Il faut que l'arc rouge coupe la lunule jaune en deux parties de même aire !!!

Imod

par **Bebs** » 22 Juil 2008, 10:34

Merci... il faut donc trouver un cercle qui coïncide avec l'arc de pointillés à droite (dans l'aire jaune).
Et bien pour ça je n'ai pas d'autre idée que celle que j'ai proposée.

Bon courage...

par **Fanatic** » 22 Juil 2008, 10:41

Bon, après 2-3min de réflexion, ce problème n'est pas simple à modéliser car il conduit à des systèmes d'équations et inéquations cartésiennes à plusieurs variables... Je ne parle même pas de sa résolution...
Alors, on reprend le système de John qui caractérise les points d'intersections des 2 premiers cercles :
(j'ai pas mathtype sur cet ordi portable sinon, ce serait magnifique la présentation... ;-)

)
système (E1) {(x-x1)^2+(y-y1)^2=R1^2 et (y-y1)^2+(y-y2)^2=R2^2} avec O1(x1;y1) et O2(x2;y2) les centres des 2 cercles de centre respectifs R1 et R2 dans un repère donné ou choisit.
Attention, il faut ajouter une condition si on veut que les 2 cercles ait 2 points d'intersections et non 1 ou 0 : {(x2-x1)^2+(y2-y1)^2}^2<(R1+R2)^2. Soit (E2) cette inégalité (les 2 centres des cercles respectifs doivent être séparés d'une distance inférieur stricte à la somme des 2 rayons des cercles. Je passe le cas ou le nombre de points d'intersection des 2 cercles représente une infinité (cas trivial les 2 cercles sont confondus). Quand le centre du 1er cercle est fixé, le centre du 2ème appartient à une région du plan. Il y a encore des contraintes qui minorent l'inégalité ci-dessus : le petit disque ne doit pas être inclus et tangent au grand sinon l'intersection n'est réduit qu'à un seul point et si la distance entre les 2 centres de cercle est inférieur à cette limite alors l'intersection est alors vide car le petit disque est strictement inclus dans le grand. Je vous laisse le soin de déterminer cette limite inférieur qui minore l'inégalité ci-dessus. Une fois qu'on est dans le bon contexte on peut poursuivre.
Reprenons, soient I1(x0;y0) et I2(x0';y0') les 2 solutions du système introduit dans cette réponse. Pour que le 3ème cercle passe par I1 et I2, il faut que le centre O3(x3;y3) du 3ème cercle appartienne à la médiatrice du segment [I1I2] tel que (E3) : R3<max(R1;R2) (cette condition est nécessaire pour au moins une lune soit repartagée par le 3ème cercle) et il font qu'on satisfasse à l'égalité d'aire suivante :
Définissons d'abord les régions du plan : Soit D1={(x-x1)^2+(y-y1)^2<=R1^2} le disque de centre O1 et de rayon R1, de même pour les 2 autres disques construits. Ainsi la 1ère lune est D1\D2 (D1 privée de D2 ou encore D1 privée de l'intersection de D1 et D2) ; la 2ème lune est D2\D1. La contrainte sur les aires s'écrit donc ainsi : (E4) : Aire{(D1\D2)interD3}=Aire{(D1\D2)\D3}.
Voilà pour ce problème. Il reste à traduire le minorant de l'inégalité (E2) et l'égalité (E4) en coordonnées cartésiennes. Ou peut-être serait il préférable de tout passer en coordonnées polaires.
Il serait aussi intéressant de caractériser l'existence ou l'unicité d'une solution à ce problème.
Cela fait des inégalités pour caractériser le fait que les cercles se coupent bien en 2 points. Un système de 2 équations pour caractériser les 2 points d'intersections des intersections de cercles et des inégalités pour caractériser les domaines du plan (lunes...) et une équation finale pour l'égalité des 2 aires.
Cela parait bien compliqué à traduire (à modéliser ce problème) et à résoudre. Le changement de variable et le passage en polaire devrait peut-être simplifier les choses... Le cercle C3 peut être de diamètre [I1I2] mais il y a une seule possibilité pour qu'il satisfasse à la condition d'aire. Dans ce cas là les paramètres des 3 cercles (O1,R1) , (O2,R2) , (O3,R3) sont étroitements liés. Si l'énoncé impose C1(O1,R1) et C2(O2,R2) alors cette solution est peu probable d'apparaitre.
Voilà ce que je peux apporter. C'est sans doute un problème de sup ou de spé. Je suis heureux d'être passé par l'université puis école d'Ingénieur et non pas par la prépa qui sert à rien à part se créer des sacs de noeuds plein la tête... Au final tu seras Ingénieur comme moi, sans doute mieux payer...quoique mais rien d'autre en tous cas...
Bon courage pour ce DM...
Romain.

par **Fanatic** » 22 Juil 2008, 11:08

Imod ton dessin est superbe mais la banane jaune qui se partage aisément en 2 parties de même aire n'est qu'un cas simple mais bien visuel, il ne caractérise pas les éventuelles autres possibilités d'une banane qui se déforme pour former un morceau de lune et non plus un croissant. A ce moment là le partage est moins évident à dessiner mais surtout à caractériser mathématiquement...
Je pense qu'il n'est pas possible de déterminer une solution algébrique de ce problème à cause notamment du calcul intégral... Il faut plutot déterminer une approximation de la solution. De toutes façons une construction n'est jamais parfaite et jamais une preuve...
Il est donc vrai que ce problème peut-être implémenté sur un ordi :crash:en Fortran90 par exemple afin de calculer notamment une approximation des solutions des calculs intégrales.
:chef:Allez mets toi au boulot ! :marteau:
Bon courage:briques:
Rom':king2:

par **Flodelarab** » 22 Juil 2008, 11:40

Romain, t'es pas la moitié d'un bourrin :lol:

Fanatic a écrit:Attention, il faut ajouter une condition si on veut que les 2 cercles ait 2 points d'intersections et non 1 ou 0

Tu rajoutes rien ... c'est l'énoncé.

Bravo Imod. J'allais faire la figure. Ce sera toujours ça de moins à faire.

par **Flodelarab** » 22 Juil 2008, 11:57

Soit A et B les 2 points d'intersection.
Soit O le milieu de [AB]
Soit I et J les 2 centres de cercle.
Soit alpha et beta les angles qui interceptent les arcs de cercle qui empiètent chez l'autre.

Calculer les angles alpha et beta , exprimer les valeurs en radians, puis calculer IO, JO et AB
En déduire les aires des secteurs IAB et JAB (alpha.IA² et beta.JA²) et les aires des triangles IAB et JAB (AB*IO et AB*JO).
Les aires de ces bouts de disque s'obtiennent par soustraction de l'aire du triangle à l'aire du secteur.
Enfin l'aire du recouvrement est la somme de ces deux aires colorées.

Reste plus qu'à soustraire à l'aire du cercle et à diviser par 2 pour avoir l'aire recherchée.

Et on recommence pour trouver le centre du cercle final.

par **Fanatic** » 22 Juil 2008, 12:58

Ouhais au moins moi j'ai renseigné avec une page notre collègue tandis que toi que dal' ! Tu sais juste citer les autres pour les critiquer ! lamentable ! :hum:
J'ai lu rapidement l'énoncé mais je pense que les contraintes sont à écrites et à caractériser mathématiquement pour exclure les solutions triviales. C'est rigoureux désolé de te décevoir jeune homme.
J'ai eu mes diplomes universitaire et d'Ingénieur, je sais ce que je dis et fais. Et un peu de respect pour un Professeur en secondaire s'il te plait.
Je suis dans ce forum pour aider et pas pour me faire chambrer à tort et inutilement alors si tu peux mieux faire tiens moi au courant.

Cordialement,

Rom' :king2:

Flodelarab a écrit:Romain, t'es pas la moitié d'un bourrin

Tu rajoutes rien ... c'est l'énoncé.

Bravo Imod. J'allais faire la figure. Ce sera toujours ça de moins à faire.

par **Flodelarab** » 22 Juil 2008, 13:14

Fanatic a écrit:Ouhais au moins moi j'ai renseigné avec une page notre collègue tandis que toi que dal' !

On est d'accord: t'as fait une page de blabla alors qu'un paragraphe de solution tel que celui que j'ai donné suffisait. :lol:

par **Fanatic** » 22 Juil 2008, 13:36

Oui je viens de te lire...
Effectivement ta solution par des éléments de géométrie plane est beaucoup plus simple que la mienne. J'ai lu trop rapidement l'énoncé. J'ai cru qu'il fallait caractériser toutes les solutions en fonctions des paramètres C1(O1,R1) ; C2(O2,R2). Donc la solution C3(O3,R3) aurait été donnée en fonction des paramètres non imposés des 2 premiers cercles au départ. Je pensais que c'était un problème de fin de prépa ou plus, avec programmation et analyse numérique. Je me suis trompé, j'ai mal lu.
Selon ta méthode, ta solution suppose des mesures sur la figure de alpha et beta connaissant les cercles C1 et C2 soit 2 approximations puis mesures de IO et JO, 2 autres approximations enfin les calculs d'aire, les différences seront approchées en fin de calcul car faisant intervenir Pi et les précédentes approximations. OK pour un problème où la précision n'est pas recherchée et n'est pas à caractériser. Un solution basée sur un modèle algébrique avec un bon algo différences finis devrait donner une très bonne approximation des solutions possibles.
Ta solution sera l'angle au centre du 3ème cercle de centre K (angle(AKB)) sachant que K appartient à la médiatrice de [AB] ou la solution peut-être la longueur OK, au choix.
Bonne solution mea culpa par rapport à ce que je t'ai écris.
Un détail pourtant, une étourderie : l'aire des 2 triangles est égale au demi produit de la base par la hauteur. Ce n'est qu'un détail...:lol4:
Et ce problème n'est qu'un petit problème de lycée finalement... Il fallait penser à une solution simple en considérant toutes les données de l'énoncé et pas un problème ouvert comme je l'ai fait mea culpa.
@+
Rom' :king2:
PS : et on est pas ici pour comparer nos cerveau ou régler des comptes...

Flodelarab a écrit:On est d'accord: t'as fait une page de blabla alors qu'un paragraphe de solution tel que celui que j'ai donné suffisait.

par **Flodelarab** » 22 Juil 2008, 13:59

Fanatic a écrit:Un détail pourtant, une étourderie : l'aire des 2 triangles est égale au demi produit de la base par la hauteur. Ce n'est qu'un détail...:lol4:

J'avais vu l'erreur et je l'ai recopiée.

Tu parles de mesures et d'approximations. Je ne comprends pas pourquoi. Restons dans le calcul.

par **Fanatic** » 22 Juil 2008, 14:07

Tu recopies une correction dans un livre ou une réponse d'un autre alors, et en plus tu fais même pas attention aux erreurs d'édition ou d'étourderie de l'auteur...je te reconnais bien là...:stupid_in
Je me disais bien qu'une réponse aussi intuitive et ingénieuse ne pouvait pas venir d'un gars qui me traite de "moitié de bourrin" hein luck ?
En tous cas je reconnais que tu as rendu service à celui qui doit remettre son DM demain...
Sans rancune...

Rom':king2:
PS : je te laisse j'ai bcp mieux à faire en ce moment que de tenir le crachoir... @+

Flodelarab a écrit::lol: J'avais vu l'erreur et je l'ai recopiée.

Tu parles de mesures et d'approximations. Je ne comprends pas pourquoi. Restons dans le calcul.

par **Flodelarab** » 22 Juil 2008, 14:15

Fanatic a écrit:un gars qui me traite de "moitié de bourrin" hein luck ?

Et la négation ? Tu t'assois dessus ? Faut pas déformer mes propos.

par **Fanatic** » 22 Juil 2008, 14:40

Arrête de jouer sur les mots tu as eu tors en te foutant de ma gueule reconnais le et on laisse couler... "t'es pas la moitié d'un bourrin" ça veut donc dire que je suis soit plus de la moitié d'un bourrin donc un bourrin quand même avec plus de matière, de consistance, de qualités ce que tu veux ou bien moins de la moitié d'un bourrin donc une mule naine en gros pas vrai ?
Ca devient lourd là.
Excuse nous Webmaster/Harmonisateur, je vais couper cours à ces réponses de gamins...
En tous cas j'avais raison pour le reste... pauvre de toi...
:id:Il fait beau, prends ta pelle et ton seau et va jouer non ?:doute:

Flodelarab a écrit:Et la négation ? Tu t'assois dessus ? Faut pas déformer mes propos.

par **Flodelarab** » 22 Juil 2008, 15:23

Un dernier petit mot pour la route ? :ptdr:

Intersection de cercles.

Intersection de cercles.

Implementation Informatique

Quelle prise de tête ce problème qui surtout ne mène à rien.

Imod ta figure est splendide... !!!

Tu n'as rien de mieux à dire pour aider ?

pardon, je viens de te lire après coup...

Et les droits d'auteurs ? LOL

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