Qt interpolation au sens de HERMITE

[Hassanova]

salut .


je veux juste seulement la preuve de cette énonce.

il existe un et un seule polynôme de degré n.qui interpole n+1 point au sens de Hermite.



et merci d'avance.

[Ben314]

Il me semble que dans l'interpolation "au sens de Hermite", on demande à la fonction non seulement de passer par les points (ça c'est Lagrange) mais aussi d'avoir des dérivées j'usqu'à un certai ordre fixées en ces points.

Peut tu être plus précis sur ce que tu entend.
(le n <-> n+1 dont tu parle ne corespond qu'aux polynômes de lagrange...)

[Hassanova]

ah, oui ,


on se demande de montrer


l'existence et l'unicité d'un polynome de degre n=w1+w2+w3+.........+wk+k

telle que

derivé j ieme P(xi)/dx= bi,j avec 0=
est ce qu'on va considérer que le polynome est une solution d'un systeme lineaire comme on a fait pour la Lagrange?ou bien on va chercher une autre methode puisque les derives interviennnent.


et merci d'avance

[Ben314]

Tout d'abord, il faut bien te dire que, si tu as n points et des conditions sur les dérivées 0ièmes (i.e. la fonction), 1ère, 2em,... (k-1) ième alors tu as nxk condition et si tu veux assurer l'existence du polynome il faudra dire "montrer qu'il existe un polynome de degré < n.k tel que" pour des raison évidente de dimension.

Pour la preuve, cela correspond effectivement à un système tout ce qu'il y a de plus linéaire sur les coeff du polynôme et je ne serait pas surpris que l'on puisse calculer le détermiant de ce système avec un peu d'astuce (dans le cas lagrange, c'est le déterminant de Vandermonde(orthographe=???)

Tu doit aussi pouvoir procéder "à la main" : l'unicité résulte de théorèmes élémentaires concernant le nombre maximal de racines (de multiplicité donné) que peut avoir un polynôme de degrés donné.
Pour l'existence, il suffit d'exiber un polynome dont la valeur et toutes les dérivées d'ordre (c'est une des méthode pour lagrange). Cela ne me parrait pas hyper sorcier.