Interpolation polynomiale Lagrange

[Rockleader]

Bonjour, les vacances étant passées par là, je n'arrive plus vraiment à comprendre l'interpolation de Lagrange.

Je me suis dit que j'allai tenter avec ce que me proposait wiki.

On calcule d'abord les multiplicateurs de Lagrange :




Puis on calcule la fonction polynomiale passant par ces points

Je comprend le calcul; mais je ne vois plus du tout dans quelles situations l'on doit se servir de cette notion. Et surtout à quoi ça sert dans l'immédiat


Merci à vous.

[Sourire_banane]

Vu qu'on est dans la période...

Imagine qu'un mec veuille dessiner un tremplin pour le saut à ski (soyons fous). Il a déjà fixé des points clef pour le support, et veut le profil le plus lisse qui soit. Supposons qu'il a déjà pu, avec un outil numérique, déterminer ces points de façon à maximiser l'énergie cinétique des athlètes.
Ben du coup, on fait un Lagrange !

lol

Non mais franchement, doit y avoir dix mille utilisations de cet outil mathématique, je n'en connais pas mais on peut toujours en imaginer !

[arnaud32]

Vu qu'on est dans la période...

Imagine qu'un mec veuille dessiner un tremplin pour le saut à ski (soyons fous). Il a déjà fixé des points clef pour le support, et veut le profil le plus lisse qui soit. Supposons qu'il a déjà pu, avec un outil numérique, déterminer ces points de façon à maximiser l'énergie cinétique des athlètes.
Ben du coup, on fait un Lagrange !

lol

Non mais franchement, doit y avoir dix mille utilisations de cet outil mathématique, je n'en connais pas mais on peut toujours en imaginer !

ca permet juste trouver une fonction polynomiale passant par un certain nombre de pints.
par contre, le gros inconvenient est justement que ca ne te donne pas du tout une forme "lisse".
il suffit de regarder pour ca les polynomes de lagrange qui s'annulent sur les {0,...,n}

[Rockleader]

en fait ça permet de trouver l'approximation d'une fonction passant par certains points sur un espace donné ?

J'avoue ne toujours pas voir l'intérêt de ce genre de chose dans une L2 informatique. Peut être au niveau imagerie cela sert il; mais autrement...

Merci à vous deux en tout cas ;)

[Ben314]

J'ai de trés gros doutes en ce qui concerne une quelconque application immédiate de ce truc à des cas concret comme celui décrit par Sourire_banane.

Si au départ tes n points sont alignés, le polynôme passant par les points est évidement de degré un, i.e. la courbe passant par les points donne une droite.
Par contre, si tu décale légèrement un des points (par exemple du fait d'un arrondi dans les calculs), alors ta "droite" se transforme immédiatement en un truc qui oscile et, pire encore, ce n'est pas au voisinage du "mauvais point" que ça oscile le plus, mais "à l'autre bout" !!!!
Donc, par exemple, si pour le tremplin, la forme idéale est une parabole est que tu as fait de trés légères approximations dans les valeurs des points, ben ça risque de te faire un tremplin en tole ondulé : pas top !!!

Pour tout ce qui ressemble à des problèmes concret de ce genre où les valeurs initiales ne sont pas archi précise, il faut avoir une méthode pas trop sensible au "conditions initiales" et c'est pas le cas ici.
Pour des trucs style tremplin, soit on utilise des courbes style "splines" bien moins sensibles aux variations, soit on se done une famille de courbes (par exemple l'ensemble des polynômes de degré <4) et on utilise un truc style "moindres carrés" pour trouver la courbe de la famille qui passe "au plus prés" des points.