Intégration

par **Dinozzo13** » 21 Avr 2012, 09:55

Bonjour, j'éprouve un peu de mal à faire l'exercice suivant :

On me donne la fonction

définie par

.
On me demande avant toute chose de déterminer l'ensemble de définition de

mais je n'y arrive pas :triste: . Je dirai qu'étant donné que

doit-être non nul, il faut que

et

soient eux mêmes non nuls, donc que

.

Ensuite, est-ce que

est de classe

?
A mon avis, ça dépend si

ou non, mais je ne sais pas comment dire ça correctement.

On me demande par suite de déterminer la dérivée de

et d'évaluer sa monotonie :

donc

.
Par contre, pour en déduire si h est strictement monotone ou pas je sèche complètement.

Merci d'avance pour votre aide :+++:

par **Judoboy** » 21 Avr 2012, 10:12

J'ai pas trop le temps là, mais tu risques d'avoir un problème de définition de la fonction que tu intègres si x<0...

par **Skullkid** » 21 Avr 2012, 10:20

Salut, tu t'embrouilles pas mal là Dinozzo...

Le seul problème éventuel pour intégrer sin(t)/t c'est quand t=0. L'intégrande est-elle prolongeable par continuité en 0 ?

par **Dinozzo13** » 21 Avr 2012, 10:40

@Judoboy : Pourquoi aurais-je un pblm si x<0, je ne te comprends pas bien.

@Skullkid : Oui, en posant

.

par **Skullkid** » 21 Avr 2012, 10:42

Ok donc finalement h(x) c'est l'intégrale de x² à x^3 d'une fonction continue sur R. Quel est le domaine de définition de h ?

par **Dinozzo13** » 21 Avr 2012, 10:53

Ah ben

par **Skullkid** » 21 Avr 2012, 11:04

Voilà, ensuite tu peux exprimer h en fonction d'une primitive de t -> sin(t)/t pour évaluer son caractère C1 et calculer sa dérivée.

par **Dinozzo13** » 21 Avr 2012, 11:06

:hum: je rencontre quelque problèmes pour trouver une primitive de sin(t)/t, j'aurais essayé une IPP mais ça ne donnerait rien donc je ne vois pas comment procéder.

par **Mathusalem** » 21 Avr 2012, 11:33

Dinozzo13 a écrit::hum: je rencontre quelque problèmes pour trouver une primitive de sin(t)/t, j'aurais essayé une IPP mais ça ne donnerait rien donc je ne vois pas comment procéder.

C'est parce qu'elle n'a pas de primitive en termes de fonctions standards.
Je sais pas trop... Pour montrer le caractère C1, tu peux éventuellement récrire ton intégrand en termes de son développement limité jusqu'à un certain ordre et intégrer cela. Tu devrais assez vite voir qu'elle est C1

par **Skullkid** » 21 Avr 2012, 11:46

Il n'y a pas besoin de connaître l'expression des primitives de sin(t)/t, il suffit de savoir qu'il en existe. Soit F une de ces primitives, on peut exprimer h en fonction de F.

par **chan79** » 21 Avr 2012, 20:37

Skullkid a écrit:Il n'y a pas besoin de connaître l'expression des primitives de sin(t)/t, il suffit de savoir qu'il en existe. Soit F une de ces primitives, on peut exprimer h en fonction de F.

Une tentative un peu pitoyable :we: pour tracer la courbe de h (en rouge) avec geogebra
En bleu c'est la fonction f telle que f(t)=(sin t)/t , prolongeable par continuité (avec f(0)=1)
Au moins, on peut conjecturer que h tend vers 0 quand x tend vers + infini .....

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par **Le_chat** » 21 Avr 2012, 20:42

Ya pas un problème avec le tracé? En 0 je vois pas pourquoi h a une pente nulle, et là on pourrait croire que sint/t est d'integrale nulle sur R+.

par **Skullkid** » 21 Avr 2012, 20:54

chan79 a écrit:Une tentative un peu pitoyable :we: pour tracer la courbe de h (en rouge) avec geogebra
En bleu c'est la fonction f telle que f(t)=(sin t)/t , prolongeable par continuité (avec f(0)=1)
Au moins, on peut conjecturer que h tend vers 0 quand x tend vers + infini .....

J'ai failli répondre "heureusement que l'exercice ne demande pas d'étudier la monotonie", mais je viens de m'apercevoir que l'énoncé donné par Dinozzo le demande... Il y a sans doute une erreur de ce côté.

Le_chat : h n'est pas une primitive de t -> sin(t)/t, ces dernières ont en effet une pente égale à 1 en 0. Intuitivement, la limite de h en l'infini ce serait quelque chose comme

, donc c'est pas choquant que ça fasse zéro.

par **Judoboy** » 21 Avr 2012, 21:14

[quote="Dinozzo13"]@Judoboy : Pourquoi aurais-je un pblm si x0 et x^3<0. Si tu la prolonges par continuité y a plus de problème.

Par contre tu t'es embrouillé pour le calcul de h'(x)...Si F est une primitive de sin(t)/t, comment écris tu h(x) en fonction de F ?

@skullkid : pas trop d'accord avec ton intuition, si je prends 1/t à la place de sin(t)/t, h(x) ne tendra pas vers 0, or intuitivement

"tend" vers 0...

par **Le_chat** » 21 Avr 2012, 21:42

Skullkid a écrit:J'ai failli répondre "heureusement que l'exercice ne demande pas d'étudier la monotonie", mais je viens de m'apercevoir que l'énoncé donné par Dinozzo le demande... Il y a sans doute une erreur de ce côté.

Le_chat : h n'est pas une primitive de t -> sin(t)/t, ces dernières ont en effet une pente égale à 1 en 0. Intuitivement, la limite de h en l'infini ce serait quelque chose comme , donc c'est pas choquant que ça fasse zéro.

Ah oui chuis con j'ai cru que le tracé en rouge étant une primitive de sin(t)/t, désolé.

Pour la limite en l'infini, ça vient du fait que l'integrale entre 0 et +l'infini de sint/t ait une valeur finie, contrairement à celle de 1/t

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