Integration au sens de Riemann

[Hadamard1]

Bonjour,

- Comment peut-on démontrer sur N (donc par récurrence) qu'une combinaison de fonctions intégrables est intégrable ? Doit-on considérer un cas particulier de fonction par exemple un polynôme et ainsi vérifier cette propriété ?

- De plus, Si je considère une fonction f Riemann-intégrable comment puis-je déduire que si f est de signe constant avec une intégrale nulle alors elle cette dernière est nulle.

Merci pour votre aide.

[tize]

Bonjour,
1) J'ai pas tout a fait compris...
2) Ca dépend...f est continue ?

[Hadamard1]

Pour (1), je souhaite montrer par récurrence sur sataille qu'une combinaison linéaire de fonctions intégrables est intégrable.

Pour (2), Si je considère un intervalle compact I=[a,b] par exemple et soit f une fonction sur I (f est continue sur I). Je cherche à montrer que f est intégrable au sens de Riemann, au sens ou l'on peut se restreindre aux jauges constantes. Ensuite en déduire que si f est de signe constant et d'intégrale nulle, elle est nulle.

[tize]

Pour la 1) la seule difficulté si j'ai bien compris est de montrer qu'une combinaison linéaire de deux fonctions intégrables est intégrable de là la récurrence est simple...

Pour la 2) je n'ai pas compris cette histoire de jauge mais si f est continue et de signe constant, on peut montrer directement que si f n'est pas nulle (>0 par exemple...) alors

[Hadamard1]

Par jauge (ou pas) j'entends le fait de subdiviser la longueur de l'intervalle et d'adapter ce dernier aux variations locales de la fonction à étudier sur I (cf. Théorème des Accroissements Finis). Cela afin que S(f,P) 'Somme de Riemann de f associée à la subdivision pointée P' puisse converger vers une limite finie S. Par pointée, je désigne un élément x appartenant au pas (ou jauge).

[fahr451]

2) pour f continue s'il existe x0 tel que f(x0) >0 alors f(x) > f(x0)/2 sur un
[x0-a,x0+a] et l 'intégrale est supérieure à af(x0) donc >0 ( adapter si x0 est une borne)