Intégration (par parties ?)

[chelsea-asm]

Bonjour,

J'aimerais avoir un peu d'aide concernant la suite d'un exercice que j'ai posté précédemment :
(Dérivée grâce à un développement limité )

En fait, la question est :

Montrer que . En déduire le sens de variation de f.

Pour info :

J'ai donc essayé de faire une intégration par parties, en utilisant

et

et
(u étant une variable muette il me semble que ça donne bien ça... à ne pas confondre avec la dérivée de arctan(u) lorsque u est une fonction!)..

Bref, ça ne donne rien, puisque je dois ensuite refaire une intégration par parties en trouvant une primitive de arctan(u) etc...

Pouvez-vous me dire, quelle serait la meilleure méthode pour résoudre cette question ?

Merci beaucoup !!

Cordialement,

[Djmaxgamer]

Bonjour,

J'aimerais avoir un peu d'aide concernant la suite d'un exercice que j'ai posté précédemment :
(Dérivée grâce à un développement limité )

En fait, la question est :

Montrer que . En déduire le sens de variation de f.

Pour info :

J'ai donc essayé de faire une intégration par parties, en utilisant

et

et
(u étant une variable muette il me semble que ça donne bien ça... à ne pas confondre avec la dérivée de arctan(u) lorsque u est une fonction!)..

Bref, ça ne donne rien, puisque je dois ensuite refaire une intégration par parties en trouvant une primitive de arctan(u) etc...

Pouvez-vous me dire, quelle serait la meilleure méthode pour résoudre cette question ?

Merci beaucoup !!

Cordialement,

Bonne première initiative, même si a priori tu n'aboutis pas. Bon reflexe.

Maintenant pourquoi ne pas utiliser le graaaaaaand théorème ultra compliqué (ironie :p) du ?

En utilisant cela (il faut aussi savoir reconnaître cela, c'est une méthode relativement récurrente)
...

(je n'ai pas testé, ça n'aboutit peut être pas non plus, mais c'est une idée)

[chelsea-asm]

Bonne première initiative, même si a priori tu n'aboutis pas. Bon reflexe.

Maintenant pourquoi ne pas utiliser le graaaaaaand théorème ultra compliqué (ironie :p) du ?

En utilisant cela (il faut aussi savoir reconnaître cela, c'est une méthode relativement récurrente)
...

(je n'ai pas testé, ça n'aboutit peut être pas non plus, mais c'est une idée)

Pourquoi pas c'est vrai qu'à ce niveau je n'ai plus les réflexes de 1-1=0 :zen: mais en effet ça a l'air d'être une bonne solution. Je vais essayer, je vous dirai ce que ça donne ! Merci du conseil.

[Black Jack]

u²/(1+u²)² = (u²+1-1)/(1+u²)² = 1/(1+u²) - 1/(1+u²)²

S u²/(1+u²)² du = arctan(u) - S 1/(1+u²)² du
***

S 1/(1+u²)² du
Poser u = tan(x)
du = 1/cos²(x) dx
1+u² = 1 + tg²(x) = 1/cos²(x)

1/(1+u²)² du = cos²(x) dx = (1 + cos(2x))/2 dx

S 1/(1+u²)² du = (1/2).S (1 + cos(2x)) dx = (1/2).x + (1/4).sin(2x) = (1/2).x + (1/2).sin(x).cos(x) = (1/2).x + (1/2).tan(x)/(1+tan²(x)) = (1/2).arctan(u) + (1/2).u/(1+u²)
***

S u²/(1+u²)² du = arctan(u) - ((1/2).arctan(u) + (1/2).u/(1+u²))

S u²/(1+u²)² du = (1/2).arctan(u) - (1/2).u/(1+u²)

S(de0àt) u²/(1+u²)² du = (1/2).arctan(t) - (1/2).t/(1+t²) = -(1/2).t².[1/(t.(1+t²)) - arctan(t)/t²]

Et donc f'(t) = 1/(t.(1+t²)) - arctan(t)/t²


:zen:

[chelsea-asm]

Bonne première initiative, même si a priori tu n'aboutis pas. Bon reflexe.

Maintenant pourquoi ne pas utiliser le graaaaaaand théorème ultra compliqué (ironie :p) du ?

En utilisant cela (il faut aussi savoir reconnaître cela, c'est une méthode relativement récurrente)
...

(je n'ai pas testé, ça n'aboutit peut être pas non plus, mais c'est une idée)

En effet, à ce niveau je n'ai plus le réflexe de faire du 1-1=0 ^^

En fait, je te remercie pour le conseil, j'ai donc essayé ! Seulement, le même problème se pose :



C'est de la forme (formule générale, où ici, u est une fonction). Et même si on peut trouver sa primitive après un bon calcul je pense, ce n'est pas une primitive usuelle d'après mon cours...



Pour celle-ci, je vais encore être confronté à une intégration par parties (car sa primitive n'est pas évidente), et je vais encore devoir intégrer en trouvant une primitive de arctan(u) ce qui revient au problème posé :mur:

En gros, ça n'aboutit pas non plus, en tout cas avec moi ...

Merci encore Si vous avez d'autres idées n'hésitez pas !

[Arkhnor]

Bonjour.

On cherche à intégrer une fraction rationnelle. Pour ça, on a une méthode systématique : on décompose en éléments simples, et on intègre chaque élément simple (primitives usuelles)

Mais ici, l'énoncé nous donne déjà la réponse attendue (chose rare), alors autant en tirer profit.

Si on pose et , alors on cherche à prouver que .
Comme , il suffit de prouver que . La dérivée de se calcule immédiatement (théorème fondamental du calcul intégral), et celle de découle d'un calcul simple.

[chelsea-asm]

@Black Jack et @Arkhnor

Merci pour vos réponses supplémentaires ! J'analyse les deux, (comme je les ai eues presque simultanément ^^) et je vous tiens au courant du résultat.

A taleur ;)

[Djmaxgamer]

En effet, à ce niveau je n'ai plus le réflexe de faire du 1-1=0 ^^

En fait, je te remercie pour le conseil, j'ai donc essayé ! Seulement, le même problème se pose :



C'est de la forme (formule générale, où ici, u est une fonction). Et même si on peut trouver sa primitive après un bon calcul je pense, ce n'est pas une primitive usuelle d'après mon cours...



Pour celle-ci, je vais encore être confronté à une intégration par parties (car sa primitive n'est pas évidente), et je vais encore devoir intégrer en trouvant une primitive de arctan(u) ce qui revient au problème posé :mur:

En gros, ça n'aboutit pas non plus, en tout cas avec moi ...

Merci encore Si vous avez d'autres idées n'hésitez pas !

ça se simplifie bien (d'où l’intérêt) :p

Pour la deuxième partie, un changement de variable peut être ? (pas testé) MAIS :

Bonjour.

On cherche à intégrer une fraction rationnelle. Pour ça, on a une méthode systématique : on décompose en éléments simples, et on intègre chaque élément simple (primitives usuelles)

Mais ici, l'énoncé nous donne déjà la réponse attendue (chose rare), alors autant en tirer profit.

Si on pose et , alors on cherche à prouver que .
Comme , il suffit de prouver que . La dérivée de se calcule immédiatement (théorème fondamental du calcul intégral), et celle de découle d'un calcul simple.

me semble plus adapté à l'exercice en effet (et plus simple, qui plus est)

[chelsea-asm]

Bonjour.

On cherche à intégrer une fraction rationnelle. Pour ça, on a une méthode systématique : on décompose en éléments simples, et on intègre chaque élément simple (primitives usuelles)

Mais ici, l'énoncé nous donne déjà la réponse attendue (chose rare), alors autant en tirer profit.

Si on pose et , alors on cherche à prouver que .
Comme , il suffit de prouver que . La dérivée de se calcule immédiatement (théorème fondamental du calcul intégral), et celle de découle d'un calcul simple.

Pour g', pas de souci, d'après le théorème fondamental :

En revanche, pour h'(t)....



Je n'arrive pas vraiment au résultat espéré ! ^^ j'ai dû me tromper mais j'ai bien fait u'v+uv' pour dériver h...

Merci encore !

[Arkhnor]

Je n'ai pas vérifié ton calcul, mais plutôt que d'utiliser la règle du produit, remplace par son expression, ça va se simplifier avec le .

[chelsea-asm]

Je n'ai pas vérifié ton calcul, mais plutôt que d'utiliser la règle du produit, remplace par son expression, ça va se simplifier avec le .

D'accord, j'y suis presque... Je trouve au lieu de

Je vais donc vérifier les erreurs de calcul !

Merci !

[chelsea-asm]

D'accord, j'y suis presque... Je trouve au lieu de

Je vais donc vérifier les erreurs de calcul !

Merci !

C'est bon, j'ai trouvé l'erreur de calcul. je trouve bien g'=h'

Conclusion : Comme g(0)=h(0)=0 et g'=h', alors g=h.

En revanche je n'arrive pas à en déduire le sens de variation de f. Même si je le connais en ayant "triché"....

[ampholyte]

C'est bon, j'ai trouvé l'erreur de calcul. je trouve bien g'=h'

Conclusion : Comme g(0)=h(0)=0 et g'=h', alors g=h.

En revanche je n'arrive pas à en déduire le sens de variation de f. Même si je le connais en ayant "triché"....

Tu as fait le plus compliqué.

Pour déduire le sens de variation de f il faut que tu étudies le signe de sa dérivée sur son intervalle de définition. (En utilisant la réponse précédente tu ne devrais pas avoir trop de problème sur le signe de f' =) )

[chelsea-asm]

Tu as fait le plus compliqué.

Pour déduire le sens de variation de f il faut que tu étudies le signe de sa dérivée sur son intervalle de définition. (En utilisant la réponse précédente tu ne devrais pas avoir trop de problème sur le signe de f' =) )

En effet, l'intégrale est positive, car de 0 à + infini, la fonction à l'intérieur de l'intégrale est positive. Donc f'(t) est négative, de 0 à + infini en passant le -1/2(t²) à gauche.

Ensuite, par symétrie (car j'ai montré que f est paire), on obtient le côté -infini à 0.

Merci pour votre aide

Bonne journée à tous et à la prochaine !!

Cordialement,