Intégration par les résidus

[Imbrielle]

Bonjour,
Je dois calculer l'intégrale suivante pour coder un programme de chimie. Mais le théorème des résidus n'est vraiment pas mon fort et je n'arrive pas à me rapporter à une forme simple dont la résolution serait dans mes capacités, notamment à cause du x-cste et des bornes en 10pi qui m’empêche de revenir à l'intégrale de Dirichlet (sin(x)/x).
J'ai vraiment du mal avec le théorème des résidus que j'ai appris à utiliser sur le tas sans vraiment avoir eu un cours dessus. Est ce que vous pourriez, s'il vous plait, me donner des pistes pour la résolution notamment à propos des bornes d'intégration ?
Merci d'avance.

[Ben314]

Salut,
Je suis pas certain qu'on puisse dire quoi que ce soit de bien pertinent concernant ton intégrale (où alors en utilisant les fonction "sinus intégral" et "cosinus intégral" qui rendent la truc plus ou moins trivial) :
- Les bornes de ton intégrales qui semblent un peu "particulières" ne le sont en fait pas du tout vu que, sauf valeur particulières de h (tu ne dit absolument rien concernant "qui" est ce h), elle n'ont rien à voir avec la période de la fonction sin(pi.x/h) qui est 2h.
- Contrairement au cas de sin(x)/x où, lorsque le dénominateur s'annule, le numérateur aussi (et le quotient des deux tend vers une limite finie), dans l'expression sin(pi.x/h)/(x-cst) rien de tel ne se produit (à moins de valeur particulières pour h et cst) et l'intégrale va être divergente si le dénominateur s'annule sur l'intervalle d'intégration (à moins qu'on ne considère l'intégrale au sens de la valeur principale de Cauchy)

Bilan : je ne sais pas trop quoi répondre à ta question...

P.S. "L'intégrale de Dirichlet", à mon sens, c'est l'intégrale de 0 à +oo (et pas de 0 à une constante) de sin(x)/x

[Imbrielle]

Bonjour,
Merci beaucoup pour votre réponse.
Je peux donner des précisions à propos de h :

Et la constante que l'on trouve dans l'intégrale est égale à nh n entier allant de 0 à 10. Je fait en réalité une somme avec les différentes valeurs de n dans l'intégrale que je cherche à résoudre. La constante correspond alors les points où .
Est ce qu'en prenant l'intervalle variant de 0 à +infini je pourrais éventuellement me servir du théorème des résidus ? Et dans le cas contraire, est ce que vous auriez une piste à m'indiquer pour résoudre cette intégrale?
Merci d'avance.

[Ben314]

Si je comprend bien, en fait ton intégrale, ça serait
avec ou éventuellement et entier.

Dans ce cas, c'est effectivement complètement différent du cas général dont tu parle dans ton premier post : tout se "goupille bien", mais je ne pense pas que ça soit suffisant pour exprimer la valeur du truc sans utiliser la fonction sinus intégral.

Via le changement de variable on a
(via la parité de la fonction)
avec ou éventuellement
Dans le cas où b'=+oo, on connait la valeur de la deuxième intégrale, mais pour la première, à part dire que ça vaut , (sinus intégral) je sais pas si on peut dire grand chose.

Bon, après, au niveau "pratique", tu peut trouver a pas mal d'endroit des tables et/ou des algorithmes permettant da calculer le sinus intégral ...

[Imbrielle]

Merci beaucoup!
En effet la fonction sinus intégral devrait être programmable.