Intégration Hypergéométrique2

[WIWIWI]

Bonjour,

J'ai réfléchi sur l'intégrale et il me semble que l'on peut calculer ça sans recours au binôme de Newton :
Soit I(n) l'intégrale.
Avec la relation suivante :
(1+u²)'=2(1+u²)u avec u=tan(t).
En intégrant par partie avec f=u/(2n) et g'=n*2u(1+u²)(1+u²)^(n-1), on trouve :
I(n)=[(u*(1+u²)^n)/(2n)]-(1/(2n))*J(n)
et
J(n)=I(n-1)+J(n-1).
Ce qui donne une récurrence, à voir...

Précision : J(n)=Intégrale[((1+u²)^n)]dt
J(0)=Intégrale[(1)]dt
I(0)=[u]-Intégrale[(1)]dt
avec [u]=u(b)-u(a) avec a et b bornes de l'intégrale (pareil pour les crochets dans l'expression de I(n)).
Tout ça doit s'implémenter en informatique je pense.
Voilà

[Bernard de Go Mars !]

Hum,

je pars pour quelques jours...

Merci pour ta proposition rapide...

L'un dans l'autre, il semble que tu te diriges aussi vers une série, non ?

Le développement du Binôme de Newton généralisé n'est d'ailleurs pas difficile : il faut le prendre comme un exercice, un genre de footing de l'esprit.

Ne trouverais-tu pas le même résultat que moi par ta méthode ? (voir ce résultat dans mon texte).

Amicalement,

Bernard

[Joker62]

Si ton résultat est bon, et que sa méthode l'est également, on ne peut que retomber sur le même résultat...


Généralement, on cherche effectivement une relation de récurrence dans ce genre d'intégrale, c'est une sorte d'intégrale de Wallis, un grand classique j'imagine :)

[WIWIWI]

Ton document est un peu long mais je peux te donner les premiers termes de la suite I(n) pour te convaincre en intégrant entre deux bornes a et b :

I(0)=tan(b)-tan(a)-(b-a)
J(0)=b-a

Donc : J(1)=tan(b)-tan(a)
I(1)=(tan(b)*(1+tan²(b)))/2-(tan(a)*(1+tan²(a)))/2-(1/2)*(tan(b)-tan(a))
=(tan^3(b)-tan^3(a))/2

Donc J(2)=(tan^3(b)-tan^3(a))/2+tan(b)-tan(a)
Etc...
En fait, le plus simple est de programmer quelque chose en entrant les bornes, la puissance n, ça fait la récurrence et te donne le résultat (qui n'est pas une estimation mais la "vraie" valeur de l'intégrale).
Voilà

[WIWIWI]

J'ai regardé ton document je ne suis pas d'accord sur ta formule de récurrence concernant les intégrales de tangentes :look2: :
Par exemple selon toi :
int(tan^3)=[tan^2]-int(tan).
Or, j'ai fait le calcul et je trouve :
int(tan^3)=(1/2)*[tan^2]-int(tan).
En effet puisque:
tan'=1+tan²
(tan²)'=2*(tan)'*tan=2*(1+tan²)*tan=2tan+2tan^3
En intégrant cette dérivée, j'arrive à mon résultat ce qui réfute ta formule de récurrence... :crash:

[Bernard de Go Mars !]

Cher Joker62,

je suis bien d'accord avec toi : le résultat qui se dégage de l'intégration, bien qu'il s'agisse d'une suite infinie, est un résultat exact. Je le précise d'ailleurs dans mon texte...

Ce qui fait que, oui, je devrait tomber sur le même résultat que Wiwiwi...

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Cher Wiwiwi,

merci de prendre à coeur mon modeste problème.

Comme je suis à la bourre, je n'ai pas repris la réflexion sur les bases (en IPP) que tu proposes...

Mais venons-en à l'erreur que tu as décelée dans mon texte.

Toute erreur est bonne à prendre quand on achoppe sur un problême. C'est même du petit lait !

Mais je ne trouve pas la partie du texte où tu as déniché cette erreur sur l'intégration de Tan^n .

Dans la pratique, je donne bien, à la page 9, la même valeur que toi pour l'intégration récurrente de Tan^n (intégration récurrente qui, par chance ineffable, cesse de l'être dans notre cas)...

Dans la pratique toujours, les termes de mon résultat présentent bien, à leur dénominateur, le libellé de la puissance de la Tan...

L'erreur que tu as pu localiser doit donc être une "coquille" ou un "mastic", comme on dit en imprimerie... Peux-tu me donner la page où tu as relevé cette erreur ?
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Lorsque nous aurons règlé ce problème d'erreur volante (les pires), il restera à vérifier qu'Excel annonce bien un résultat compatible avec la valeur en Hypergéométrique2 qu'annonce Mathematica : il se passe en effet que, la deuxième voie de calcul que j'ai trouvée conduit à un résultat numérique un peu trop différent du résultat numérique de la première voie en Tan^n dont nous conversons...

En fait le résultat de la deuxième voie (évoquée dans mon texte) est une série qui diverge pour l'une des bornes ''naturelles'' du problème de physique que je traîte (le zéro de la variable)...
Plus précisément, aux alentours de cette borne, la série ne converge pas suffisamment vite relativement à la valeur de certains coefficients (en Factorielle2 , je crois), de sorte que Excel se trouve dépassé par l'importance de ces coefficients avant que la série n'ait convergé suffisamment...


En vous remerciant pour votre sagace expertise,

amicalement,

Bernard de Go Mars !

[WIWIWI]

Salut,

Justement j'ai déniché l'erreur à la page 9 : ta formule n'est pas bonne.
Du fait que :
(tan^n)'=n(1+tan²)tan^(n-1)
La formule de récurrence est la suivante :
[tan^n]=n*Intégrale(tan^(n-1))+n*Int(tan^(n+1)).
Ce qui donne
Int(tan^(n+1))=(1/n)*[tan^n]-Int(tan^(n-1)).
Or, tu oublies le 1/n (ce qui doit fausser ton développement) :error: !
Voilà ce que je voulais dire... :jap:

[Bernard de Go Mars !]

Oups !!, cher Wiwiwi !!

notre incompréhension trouve sa source dans une histoire de fou !!!

En effet, à défaut d'utiliser le générateur de formule de Word dans mes textes, j'utilise le système (pré)historique des commutateurs de champ EQ (qui mettent en forme les fractions et les radicaux, entre autres)...

Par exemple :

frapper { EQ \f(1;n)} dans Word 2000 crée la fraction 1/n.

Et tu as ouvert mon texte dans un logiciel qui ne réagit pas (ou plus) à ces codes de champ !!!

Sans doute utilises-tu (et avec raison) un logiciel libre !

Enfin bref : sur ton écran les fractions et les radicaux (et même leur contenus) ne sont pas affichés du tout ! : ils deviennent transparent (alors qu'il aurait été plus sympa qu'ils soient symbolisés par un signal d'illisibilité)

Sinon, sur le fond, nous sommes bien d'accord : ainsi que je le dis mnémotechniquement dans la note du bas de la page 17 :
"Le dénominateur du coefficient et la puissance (des termes de la série résultat) sont le même nombre, intermédiaire entre les deux puissances de Tan(;)) avant intégration…"

Ouffff !!!
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Dommage : j'aurais bien aimé que tu me déniches une petite erreur !!
ç'aurait pas été de refus !

Mais au point où nous en sommes, cependant, si tu mènes à bien ton calcul, tu devrais trouver le même résultat que moi (sous Word !) (je pourrais te le faire parvenir sous un autre format)...

Amicalement,

Bernard

[WIWIWI]

Ah d'accord,
J'utilise en effet des logiciels libres :zen: !
Très bien dans ce cas, on doit donc avoir les mêmes résultats...
Je n'ai pas le temps de vérifier mais je suppose que cela doit nous mener à la même chose (en tous cas c'est pareil pour n=2) bien que je préfère ma méthode (moins calculatoire et plus jolie non? :king2:) mais bon!
Je vais peut-être jeter un coup d'oeil sur la loi hypergéométrique...

[Bernard de Go Mars !]

Merci, c'est sympa !

Paralèlement, je vais essayer de me sevrer de logiciels impérialistes.

Et premièrement faire une version .pdf du texte incriminé : Voilà, c'est fait : J'ai remplacé le document .doc par une version .pdf !

Je ne sais d'ailleurs si ce transcodage est préférable ou non, dans le cas général...

Oui, ta démarche est la démarche d'avenir; en particulier elle te permettra peut-être d'atteindre à la formulation de l'équation générale de l'Univers, la fameuse équation du Grand Tout !

A côté de ça je suis un bricoleur qui renoue (avec difficulté, mais non sans fierté et plaisir) avec l'outil Mathématique...
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"Je vais peut-être jeter un coup d'oeil sur la loi hypergéométrique", me dis-tu.

--> : Mais attention, c'est la loi Hypergéométrique d'ordre 2 qui m'est nécessaire (elle ne figure pas dans les fonctions de mon Excel...).

Amicalement,

Bernard

[Bernard de Go Mars !]

Une chose dont je viens de me persuader :

Le calcul de mes deux séries résultantes (une pour chaque borne) pousse mon Excel dans ses retranchements (ce qui n'est pas courant) !
En effet, aux alentours du 80ème terme, un coefficient en factorielle tourne déjà autour de 10^305...

Il faut donc, pour pouvoir prétendre à la convergence de mes séries, que je simplifie le coefficient du terme général de mes séries.

Comme avancé sur mon texte en .pdf ou en .doc ), le coef du terme général (d'ordre i) de mes séries est :

(2i - 5)! [COLOR=Red]/[/COLOR][COLOR=DarkOliveGreen][COLOR=Red]{[/COLOR][/COLOR] (i-1)(i-2) [(i-3)!]² * 2^(2i-4) [COLOR=Red]}[/COLOR]

Sans doute la simplification recherchée naîtra-t-elle d'un jeu (malin) sur les factorielles (en bleu ci-dessus)...

Amicalement,

Bernard

[Bernard de Go Mars !]

Tout arrive : j'ai finalement mené à bien mon calcul !

Résumons l'aventure :

Les termes de ma série résultat devenaient vite incalculables par Excel (au 85ème terme).

Cela me créait un petit problème. En effet, les conditions de convergence de la série excluant la valeur nulle de la variable, j'avais pris comme plage d'intégration [ t = T à Epsilon] au lieu de [T à 0] comme la résolution de mon problème de Physique l'exigeait.
Ce n'était d'ailleurs pas gênant puisque la fonction à intégrer (la Traînée atmosphérique) est réputée être nulle aux alentours de t = 0 (aux alentours de la culmination, dans mon cas), càd que les variations de la borne Epsilon (Epsilon restant petit) sont censées ne pas avoir d'influence significative sur le résultat de l'intégration...

Le petit problème c'est que justement, ma série ne convergeant pas suffisamment avec les termes qu'Excel était capable de calculer, les variations d'Epsilon avaient une trop forte influence sur le résultat (10 ou 20 % du résultat) : ça faisait un peu beaucoup par rapport à ce qui était attendu...


Par chance, et comme je l'indique sur la dernière version de mon texte, j'ai réussi à avancer plus loin dans le calcul des coefficients de la série (je me suis arrêté au 5000ème terme).

Pour ce faire il a fallu que me vienne l'idée d'observer le pas de variation d'un coefficient au suivant : il s'avère que ce pas (multiplicateur) est beaucoup plus simple à calculer par Excel que la valeur intrinsèque des coefficients eux-mêmes (valeur intrinsèque faisant appel à un quotient de factorielle qui atteignent vite les limites d'Excel).

En fait la partie incriminée des coefficients n'évolue presque pas d'un terme à l'autre (le pas multiplicateur qui permet de passer de la partie incriminée d'un coefficient à la celle du coefficient suivant tend vers l'unité).

Bref, la chance aidant, j'ai pu trouver un résultat qui est insensible, comme attendu, aux variations d'Epsilon et qui de plus calque parfaitement avec le résultat dégagé par moi par une autre voie (un peu plus difficile à mettre en oeuvre puisque la plage d'intégration complète de ma variable devait être scindée en deux plages, séparées elles-mêmes par un autre Epsilon)(trois plages, donc)...

Cette petite balade de Mathématiques appliquées fait déjà l'objet d'une publication provisoire (mais que je pense tout à fait lisible) : en format Word

ou en .pdf .


Ca n'empêche pas que je ne sais toujours pas à quoi ressemble la forction Hypergéométrique d'indice 2 !

Enfin, il y a également une satisfaction à s'en passer et faire avec ce que l'on a...

En vous remerciant,
amicalement,

Bernard de Go Mars !