Intégration et convexité

[bidoune]

Soit f une fonction convexe dérivable sur un intervalle [a,b], montrer que
(b-a)f((a+b)/2) <= intégrale entre a et b de f(t) dt <= 1/2(b-a)(f(a)+(b))

J'ai juste réussi, à l'aide de la convexité, à démontrer que :
(b-a)f((a+b)/2) <= 1/2(b-a)(f(a)+(b))

Je ne vois pas comment montrer l'inégalité avec l'intégrale...

[Maxmau]

Soit f une fonction convexe dérivable sur un intervalle [a,b], montrer que
(b-a)f((a+b)/2) <= intégrale entre a et b de f(t) dt <= 1/2(b-a)(f(a)+(b))

J'ai juste réussi, à l'aide de la convexité, à démontrer que :
(b-a)f((a+b)/2) <= 1/2(b-a)(f(a)+(b))

Je ne vois pas comment montrer l'inégalité avec l'intégrale...

ReBj

A(a,f(a)) B(b,f(b)) , C( c , f(c))) où c = (a+b)/2
La tangente en C est sous la courbe elle même sous la corde [AB]
En intégrant sur [a,b] cette inégalité, ça devrait aller

[bidoune]

Encore merci pour ton aide Maxmau! J'ai réussi à trouver le résultat attendu.
J'ai encore quelques questions mais je vais y réfléchir encore un petit peu avant de les mettre sur le forum.
Merci beaucoup! :we: