Intégration et Changement de Variable

[silent_james]

Bonsoir,

J'ai un gros trou de mémoire....
Si on a l'intégrale double sur le plan de (x + y)dxdy (x et y réels).
en posant z = x + y... qu'en est-il de dz ?
On ne peut pas utiliser la formule du Jacobien car dz est linéaire du plan dans R, donc sa matrice n'est pas carrée...

C'est très bête comme question... mais je crois que je fatigue lool

Merci à vous si quelqu'un ose me répondre ;)

[COTLOD]

Bonsoir, allez j'ose :
Le théorème de changement de variable concerne des difféomorphismes et des fonctions intégrables.
Ces deux conditions sont-elles réunies ici ?

[silent_james]

Bonsoir COTLOD,

En effet, le changement n'est pas bijectif... mais il me semblait qu'on se ramenait à une intégrale d'une variable comme le rôle de x et y est symétrique ou quelquechose comme ça mais je ne me souviens plus...

[JJa]

Bonjour silent_james,

j'ose répondre que je ne comprends pas bien le sens de ta question, pour plusieurs raisons.
En effet, si z=x+y, on a trivialement dz=dx+dy alors que veut-on de plus ?
D'autre part, je ne vois pas comment on pourrait répondre à la question de l'intégration si on n'a aucune indication sur les limites du domaine d'intégration, c'est à dire si on ne sait pas si une relation y(x) ou x(y) existe ou non sur la frontière du domaine d'intégration.
Dans le cas particulier où le domaine d'intégration est le rectangle -a(x+y)*dx*dy = x*dx*dy+dx*y*dy = d(x²/2)*dy+dy*d(y²/2)
l'intégration est élémentaire (variables séparées) :
((x²/2)-(a²/2))*(y+b) + (x+a)*((y²/2)-(b²/2))
et sur le rectange complet (x=a, y=b ), l'intégrale double vaut :
((a²/2)-(a²/2))*(b+b) + (a+a)*((b²/2)-(b²/2)) = 0
ce qui était évident à priori, du fait de la symétrie et de l'imparité de la fonction à intégrer.
Le résultat est donc 0, quels que soient a et b, donc lorsqu'on les fait tendre vers l'infini (intégration sur le plan entier).
Par contre, c'est différent si le rectangle n'a pas de symétrie par rapport à l'origine, par exemple -a((2*a²)-(a²/2))*(b+b) + (2a+a)*((b²/2)-(b²/2)) = (3/2)*a²*b
Elle est donc divergente lorsque a tend vers l'infini.
Ces exemples montrent bien que le résultat de l'intégration sur le plan complet dépend de la façon dont on étend la limite d'intégration pour la faire tendre vers l'infini et que le résultat =0 habituellement donné (par raison de symétrie) est conventionnel par le fait qu'il sous-entend des conditions particulières pour la façon d'étendre à l'infini le domaine d'intégration.
On voit bien qu'on ne peut pas donner de réponse générale à la question posée si on n'a aucune indication sur les limites du domaine d'intégration, c'est à dire si on ne sait pas si une relation y(x) ou x(y) existe ou non sur la frontière du domaine d'intégration, même lorsqu'elle est étendue à l'infini.
Autre ambiguité de la question posée : Je ne comprends pas non plus de quel changement de variables il s'agit. Au départ on a deux variables (x et y), ce qui est normal pour une intégrale double. Après changement, on a la variable z définie par z=x+y, mais quelle est la deuxième variable ? Si elle n'est pas définie, cela n'a aucun sens : Que signifie une discussion ou une question sur le jacobien, que l'on ne peut pas définir ni calculer, si une seule variable est définie au lieu de deux ?

[MathMoiCa]

Bonsoir COTLOD,

En effet, le changement n'est pas bijectif... mais il me semblait qu'on se ramenait à une intégrale d'une variable comme le rôle de x et y est symétrique ou quelquechose comme ça mais je ne me souviens plus...

Le changement de variable doit être un C1-difféomorphisme, non ? :hein:



M.