Je souhaiterait calculer une primitive de ces deux fonctions :
mais je ne vois pas les changements de variable adéquat.
Merci d'avnace pour votre aide.
[MPSI] intégration et changement de variable
18 messages
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[MPSI] intégration et changement de variable
par pouik » 22 Fév 2007, 12:57
Bonjour,
Je souhaiterait calculer une primitive de ces deux fonctions :
mais je ne vois pas les changements de variable adéquat.
Merci d'avnace pour votre aide.
Je souhaiterait calculer une primitive de ces deux fonctions :
mais je ne vois pas les changements de variable adéquat.
Merci d'avnace pour votre aide.
par mathelot » 22 Fév 2007, 13:13
Bonjour,
pour la première,
et
d'où:
 = 2\sqrt{x} - 4 \ln ( 2 + \sqrt{x}))
pour la seconde:
on revient à la déf:
=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2})
=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2})
et on obtient une fraction rationnelle en v.
qui s'intègre en arctangente car
est strictemnt négatif.
pour la première,
et
d'où:
pour la seconde:
on revient à la déf:
qui s'intègre en arctangente car
par pouik » 22 Fév 2007, 17:49
J'ai essayé de faire le 1. en passant par votre changement de variable mais je suis bloqué. Pourriez vous m'aider à me débloquer. Merci d'avance.
Soit
la fonction définie sur 
par :
 = \displaystyle\int_{0}^{x} f(t) dt)
est une primitive de 
sur .
Soient
.
Calculons)
en utilisant la Formule de changement de variable.
Soit
étant de classe 
sur .
est de classe 
sur 
, à valeurs dans .
et :}^{\phi(x^2)} f(t) dt)
d'où, d'après la Formule de changement de variable :
 = \displaystyle\int_{0}^{x^2} f(\phi(u)) \phi'(u) du)
c'est-à-dire : = \displaystyle\int_{0}^{x^2} \frac{1}{2+u} \times \frac{1}{2\sqrt{u}} du)
c'est-à-dire : = \displaystyle\int_{0}^{x^2} \frac{1}{(2+u) 2\sqrt{u}} du)
Soit
Soient
Calculons
Soit
et :
d'où, d'après la Formule de changement de variable :
c'est-à-dire :
c'est-à-dire :
par pouik » 22 Fév 2007, 19:26
c'est-à-dire (puisque  - 4)
) :  = \displaystyle\int_{0}^{x^2} \frac{2(2+u) - 4}{2+u} du)
c'est-à-dire : = \displaystyle\int_{0}^{x^2} 2 - 4\frac{1}{2+u} du)
c'est-à-dire : = \left[2u - 4\ln{(2+u)}\right]_{0}^{x^2})
c'est-à-dire : = \left(2x^2 - 4\ln{(2+x^2)}\right) - \left(2 \times 0 - 4\ln{(2+0)}\right))
c'est-à-dire : = 2x^2 - 4\ln{\left(\frac{2+x^2}{2}\right)})
Est-ce correct ??
c'est-à-dire :
c'est-à-dire :
c'est-à-dire :
c'est-à-dire :
Est-ce correct ??
par mathelot » 22 Fév 2007, 20:41
je crois pas car 
. le résultat est plus simple.
c'est celui que j'ai donné à 12h13.
c'est celui que j'ai donné à 12h13.
par pouik » 22 Fév 2007, 20:55
le problème vient peut-être an fait du choix de : il faudrait peut-etre prendre 
, comme ca on aura les 
NON ?? Sinon d'où vient l'erreur ??
NON ?? Sinon d'où vient l'erreur ??
par mathelot » 22 Fév 2007, 22:42
Nightmare a écrit:Bonjour
on en déduit :qui se calcul facilement.
:happy3:
pouïk,
je reprend l'explication de Nightmare.
on pose
en différentiant:
2udu=dx
et tu remplaces dx en fonction de u et du. :marteau:
par pouik » 23 Fév 2007, 11:20
Bonjour,
MAis donc il faut plutot poser :
NON ?? (avec mon raisonnement)
MAis donc il faut plutot poser :
NON ?? (avec mon raisonnement)
par pouik » 26 Fév 2007, 12:08
Bonjour,
Pour la deuxième, je propose (il y avait une erreur dans ce qu'on me proposait : 2 au numérateur en fait), et sinon pour calculer l'intégrale en arctangente, je me suis servi de la calculatrice donc si vous pouviez m'expliquer comment le faire à la main, ce serait vraiment formidable. Merci d'avance :
Posons
.
Travail préliminaire : Soit
.
c'est-à-dire : + \left(\frac{e^t - e^{-t}}{2}\right) + 1} dt)
c'est-à-dire, après simplification :
c'est-à-dire :
c'est-à-dire :^2 + 2e^{t} + 1} \times e^t dt)
Soit et définies par :
étant de classe sur 
.
est de classe sur , à valeurs dans 
.
Comme :)\phi'(t) dt)
Selon la Formule du Changement de Variable :
}^{\phi(x)} f(u) du)
c'est-à-dire :
c'est-à-dire :}{2}\right)}\right]_1^{e^x})
c'est-à-dire :
c'est-à-dire :}{2}\right)}\right) - \left(\sqrt{2}\arctan{\left(\frac{\sqrt{2}(3+1)}{2}\right)}\right))
c'est-à-dire :}{2}\right)}\right) - \left(\sqrt{2}\arctan{\left(\sqrt{2}2!\right)}\right))
Pour la deuxième, je propose (il y avait une erreur dans ce qu'on me proposait : 2 au numérateur en fait), et sinon pour calculer l'intégrale en arctangente, je me suis servi de la calculatrice donc si vous pouviez m'expliquer comment le faire à la main, ce serait vraiment formidable. Merci d'avance :
Posons
Travail préliminaire : Soit
c'est-à-dire :
c'est-à-dire, après simplification :
c'est-à-dire :
c'est-à-dire :
Soit
Comme :
Selon la Formule du Changement de Variable :
c'est-à-dire :
c'est-à-dire :
c'est-à-dire :
c'est-à-dire :
c'est-à-dire :
par pouik » 26 Fév 2007, 12:36
En fait je calcule la deuxième intégrale donnée dans mon premier message. Et je souhaiterait saoir si c'est bon.
De plus, je ne sais paas calculer à la main une primitive de
, je l'ai fait ici à la calculette : pourriez vous m'expliquer comment le faire à la main.
Merci d'avance. :zen: :zen:
De plus, je ne sais paas calculer à la main une primitive de
Merci d'avance. :zen: :zen:
par fahr451 » 26 Fév 2007, 13:03
mettre sous forme canonique
3u^2 +2u+1 = 3 [ (u+1/3)^2 + 2/9 ] = (2/3)[ (u+1/3)(3/racine(2) )^2 +1 ]
poser
v = (3/racine(2) (u+1/3) et reconnaitre la dérivée d ' arctan v
3u^2 +2u+1 = 3 [ (u+1/3)^2 + 2/9 ] = (2/3)[ (u+1/3)(3/racine(2) )^2 +1 ]
poser
v = (3/racine(2) (u+1/3) et reconnaitre la dérivée d ' arctan v
par pouik » 26 Fév 2007, 13:30
Est-ce que ce que j'ai écrit est bon.
SInon comment faites vous pour faire apparaitre cette égalité : y a t il un "truc" ?
SInon comment faites vous pour faire apparaitre cette égalité : y a t il un "truc" ?
fahr451 a écrit:mettre sous forme canonique
3 [ (u+1/3)^2 + 2/9 ] = (2/3)[ (u+1/3)(3/racine(2) )^2 +1 ]
par Edrukel » 01 Mar 2007, 13:31
on montre que 1/(2chx+shx+1)=(2e^x)/(3e^(2x)+2e^x+1)
on faisant le changement de variable
prenons la fonction phi:]1,+oo[-->IR
phi(x)=ln((x-1)/3) , phi est bien à valeurs de IR qui l'ensemble de départ de f
alors pour tout x de IR, on a Int( f(t)dt,t=0..x)=Int(f(t)dt,t=phi(4)..phi(3e^x+1)) ,comme 3e^x+1 et 4 sont dans ]1,+oo[
d'où d'après FCV :
Int(f(t)dt,t=0..x)=Int((2/(2+t^2)]dt,t=4..(3e^x+1))=rac(2)arctan((3e^x+1)/rac(2))-rac(arctan(2*rac(2)))
on faisant le changement de variable
prenons la fonction phi:]1,+oo[-->IR
phi(x)=ln((x-1)/3) , phi est bien à valeurs de IR qui l'ensemble de départ de f
alors pour tout x de IR, on a Int( f(t)dt,t=0..x)=Int(f(t)dt,t=phi(4)..phi(3e^x+1)) ,comme 3e^x+1 et 4 sont dans ]1,+oo[
d'où d'après FCV :
Int(f(t)dt,t=0..x)=Int((2/(2+t^2)]dt,t=4..(3e^x+1))=rac(2)arctan((3e^x+1)/rac(2))-rac(arctan(2*rac(2)))
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