Intégration avec "dr²"

[nepo]

Bonjour,


Je chercher à calculer la vitesse moyenne d'un fluide dans un tuyau et j'ai un problème avec le calcul des intégrales que j'obtiens.

Le tuyau a un rayon R et la vitesse est répartie suivant une symétrie cylindrique, la vitesse ne dépend que de du rayon r où l'on se situe:

v(r) = B - C.r² B & C constantes



Pour calculer la valeur de la vitesse moyenne, je pense intégrer cette formule sur toute la surface du tuyau et diviser par la surface totale. J'exprime pour cela mon tuyau en "sous-cylindres" élémentaires.

Déjà là, je ne suis pas sûr du raisonnement, est-ce correct ?



Ensuite, lors du calcul, j'obtiens des intégrales avec des termes "dr²". Je ne sais pas du tout comment calculer ce type d'intégrale en utilisant des primitives. D'habitude j'ai toujours des intégrales du type "f(r).dr" et non "dr²"


Comment faut-il procéder ? faut-il faire une intégrale double, pour se ramener à "(f(r).dr).dr"

Merci de m'aider.

[Ben314]

Salut,
Je ne suis pas habitué à ces notations "physique", mais sauf erreur de ma part, dans ce genre de notation, dr désigne une toute petite variation de r et on décrète plus ou moins que... (dr)²=0
Il me semble que pour trouver la dérivée de x² avec ces notations, on écrit
que l'on approxime à
En math, on écrirait plutôt qui tend vers lorsque tend vers 0.

[nepo]

Ok merci.

Effectivement, si je néglige les termes avec "dr²" et que j'intègre la fonction f(r) = 1 sur l'ensemble de la surface, je retrouve l'aire de cette surface: Pi*R², ce qui me semble logique.

Néanmoins, si quelqu'un pouvait me confirmer que le calcul que je fais (intégrer vitesse*aire élémentaire, le tout divisé par l'aire totale) est la bonne méthode pour calculer la vitesse moyenne, cela me rassurerait.

[Ben314]

N'étant pas physicien je ne confirme pas à 100%, mais, mettons à 99% que c'est la bonne méthode.

intégrer vitesse = calcul du débit global
débit global/ aire élémentaire = vitesse moyenne

Me parrait plus que plausible....

[nepo]

Merci pour ton aide Ben314.