Intégrales !

[Anonyme]

Bonjour tout le monde!
Voila, je butte sur un exercice concernant les intégrales.
Je n'arrive pas a faire les questions 1, 2 et 4, et je ne comprends pas la question 3 (Donc je n'arrive pas a la faire non plus !!).

Merci d'avance pour votre aide !

Voici mon exercice :

1->Montrer la convergence de l’intégrale .

2->En déduire celle de

3->Etudier la nature de l'intégrale

4->Montrer la convergence de l'intégrale et calculer sa valeur.

[fonfon]

salut ,ça fait longtemps que je n'en ais pas fait mais je vais essayer de t'aider.
tu es sûr que ce n'est pas sin(t) ds l'integrale.
1)Sinon
l'integrale est generalisee en 0,son signe est cst

il faut que tu te serves de:
integrale de 0 à 1 de 1/t^a conv ssi a<1
integrale de 1 à inf de 1/t^a conv ssi a>1.

je pense que avec ça tu devrais pouvoir avancer.
2)decoule de 1)

3)pour cette question c'est le même principe que 1).Elle est generalisee en 0,de signe cst...
4) generalisee en 0,1 de signe cst

en 0:ln(1-x^2)/x^2 equiv. à 1/x^2 et integrale de 0 à 1 de 1/x^2 conv.
en 1: regarde si c'est pas 1 integrale de bertrand

[Anonyme]

Salut Fonfon !
Merci de m'aider !

Alors, tu as raison, il s'agit de sin(t)² et non pas sin(x)² (de meme dans la 2eme question : sin(t) au lieu de sin(x))

Sinon, que veux tu dire quand tu dit :
"l'integrale est generalisee en 0".

Merci encore!

[fonfon]

salut,ChimChim l'integrale generalisee veut dire ,en "français" pr que tu comprennes,où l'integrale pose pb avec ses bornes
ici, t->1/t^2 pose pb en 0
t->sint pose pb en + inf

pour la 1),c'est du cours(je me demande si c'est pas le critère d'Abel?)

ici,c'est de la forme l'integrale de a à +inf. de f(t)*g(t) dt
il faut :
-g continue et il existe M,pr tt x, val.abso de integr. de 0 à x de g(t) dt<=M
-f est C^1(cont. et deriv.),decroissante au vois. de +inf et limf=0 t->+inf

alors l'integrale de a à +inf. de f(t)*g(t) dt conv.

tu prends g(t)=sin^2(t) et f(t)=1/t^2

avec ça normalmement ca marche.

[Anonyme]

Je ne comprends rien ! lol

pour le 1, je majores

sin(t)^2 1
--------- par --------
t^2 t^2



1
mais l'integrale de ----- ne converge pas... je suis coincé...
t^2

sin(t)
Comment en déduire celle de ---------- ???
t


Je n'arrives a faire aucune question !!!
A l'aide ! lol

[fonfon]

salut Chimchim,excuse-moi ce n'etait peut-etre pas tres clair:
1) l'integrale est gen. en 0 et +inf:

au voisinage de 0 on utilise un D.L:
sin^2(t)/t^2 equiv. a 1 et integrale de 0 à 1 de 1 dt conv.

au vois. de + inf ,on linearise sin^2(t)=(-cos(2t)+1)/2
donc sin^2(t)/t^2=(-cos(2t)+1)/2t^2
=-cos(2t)/2t^2 + 1/2t^2

tu passe au integrales pour la 1ere du fait abel:
int. de 0 a x de val. abs. cos(2t)<=1/2 et t->1/t^2 decrois. sur [1,inf[ et lim1/t^2=0 en +inf donc int. de 1 a inf de cos(2t)/2t^2dt conv.

pour la 2eme int. de 1 a inf de 1/t^2 dt conv. (cours)

ce qui prouve la conv. de l'integrale.
2)l'integrale demandé c'est la racine carré donc evident.
3)il faut utiliser des D.L
4) indication ln(1-x^2)=ln(1-x)+ln(1+x) avec ça ca doit aller