Integrales de surfaces Ostrogradski

[vespissimo]

Bonjour, on a commencé a aborder les exercices sur les intégrales de surfaces et je bloque un peu. Voici l'énnoncé:

On considère un solide de volume V limité par une surface S, entièrement plongée dans un fluide en équilibre. On admettra que le fluide exerce une force qui peu s'écrire comme une intégrale de surface vectorielle(i.e.; 3 intégrales de surfaces correspondant aux 3 composantes);



où u est un constante positive, z(M) la profondeur du point M de S (par rapport à la surface libre du fluide) et (M) la normale à S en M, orientée vers l'interieur du solide. (la densité de force (M) est donc proportionnelle à la profondeur du point, ce qui est normal).

On rappelle aussi que le moment des forces considérées, par rapport à un point O est défini par:




Transformer les intégrales de surface en intégrales triples, puis calculer , en fonction de u, V et des coordonnées du centrre de gravité G du solide supposé homogène. (Si le solide était homogène de densité P, son centre de gravité G a pour coordonnées:







Je bloque dès la premiere question, Je pensais aplliquer la formule d'Ostrogradski mais je ne sais pas tellement comment faire

Merci par avance pour votre aide

[mathelot]

bonjour,
je souhaitais t'aider, malheureusement j'y connais rien.
je suis allé voir la formule d'Ostogradski. Elle dit que si U est un domaine compact à bord lisse de (le solide) et sa surface, supposée régulière, on sait intégrer la chose suivante:



qui vaut alors:



f,g,h n'ont pas l'air méchant, ce sont des fonctions de dans R.

dans ton intégrale


Z(M) n'est pas méchant, c'est une fonction de U dans
le vecteur , il doit être possible de l'exprimer composante par composante ou à l'aide de l'équation du bord du solide , il reste ensuite à faire apparaitre les éléments différentiels
, , à partir de dg , là je ne vois pas du tout.