Integrales simples :p

[mimilamouse]

Bonjour, POurriez vous m'aider s'il vous plait ?

1- Soit f la fonction définie sur [1;+OO[ par f (x) : x/ (e^x-1) et soit H la fonction définie sur [1;+00[ par H (x) : INtegrale de 1 à x f(t) dt

a- Justifier que f et H sont bien définies sur [1; +00[
(Il faut voir si la fonction est continue mais lorque j'étudie le signe du dénominateur je ne retrouve pas 1 :s )

b- Quelle relation existe-t-il entre H et f ?

c- Soit C la courbe representative de f dans un repere orthonormal (o,i,j) du plan. Interpréter en termes d'aires le nombre H(3).

Voila. Merci de m'aider :s

[Ericovitchi]

il n'y a pas de problèmes de définition, la fonction f est définie partout entre 1 et l'infini, je ne vois pas bien ce qui te tracasse avec le signe du dénominateur.

la relation entre H et f, tu as trouvé ? dérives H pour voir

[mimilamouse]

:-? Pour la 1-a- Je dérive f et je trouve ( e^x(1-x) -1 ) / (e^x-1)^2

Ensuite je crois qu'on peut faire ca =

x superieure a 0

e^x (1-x) -1 superieur a 0
e^x ( 1-x) superieur a 1
ln e^x (1-x) superieur a ln 1
1-x superieur a 0
-x superieur a -1
x superieur a 1

Je fais un tableau de signe pour mettre toutes ses valeurs et un tableau de variation pour montrer que la fonction est continue et la je peux dire que c'est bien définie sur [1; + 00[

:-? Pour la b- La relation est que H est l'integrale de f ?

:-? Pour la c - Je pense qu'il faut calculer l'integrale de H(x) pour ensuite pour voir calculer H(3)

Voila ce que j'ai trouvé jusqu'ici

[Ericovitchi]

:-? Pour la b- La relation est que H est l'integrale de f ?

dis plutôt H est une primitive de f ou encore mieux que la dérivée de H est f.

:-? Pour la c - Je pense qu'il faut calculer l'integrale de H(x) pour ensuite pour voir calculer H(3)

non tu n'y arriveras pas. On t'a pas demandé de la calculer, on t'a demandé d'interpréter.
tu dis juste que c'est l'aire sous la courbe f entre les verticales 1 et 3

[mimilamouse]

Merci biien. D'ailleurs, pour la 1- c- en tapant a la calculette, on remarque que l'aire sous la courbe est infinie, je peux l'ajouter ?

[Ericovitchi]

ha non je ne crois pas ~0.663801

D'ailleurs pourquoi serait-elle infini, il n'y a pas d'asymptote ?

Et même jusqu'à l'infini ~0.867429

[mimilamouse]

ok ! alors je m'arreterais simplement a dire que c'est l'aire sous la courbe f entre les verticales 1 et 3 ^^

[mimilamouse]

Parcontre je suis seriieusement bloquée a cette questiion :s
2- On se propose, dans cette questiion, de donner un encadrement du nombre H(3).
a- Montrer que pour tout réel x superieur a 0, x/ (e^x-1) = x * e^-x / ( 1-e^-x)
J’ai seulement remarquée pour cette question que e^-x = 1/e^x
b- En deduire que integrale de 1 a 3 f(x) dx = 3 ln ( 1- 1/e^3) – ln ( 1- 1/e) – integrale de 1 a 3 ln (1-e^-x) dx
c- Montrer que si 1 < ou egal a x < ou egal a 3 alors ln (1-1/e)< ou egal a ln (1-e^-x) < ou egal a ln (1-1/e^3)
d- En deduire un encadrement de integrale de 1 a 3 ln (1-e^-x) dx puis de integrale de 1 a 3 f(x) dx

[mimilamouse]

J'ai trouvé pour la 2)a- et 2) b-

Pour la 2) c - = pour la question 2) c -

J'ai mis 1
On applique l'integrale , qu'on a trouvé à la question précédente, aux 3 membres.

ln(1-(1/ê) < ln (1-e^-x) < ln ( 1- (1/e^3)

[mimilamouse]

Pour la 2) d-

je pense que ce n'est paspossible d'integrer puisqu'on ne connait pas la primitive de ln (u)