Intégrales et primitives

[Florix]

Bonjour,

Je faisais des annales de maths ce matin, quand je suis tombé sur cette question : "Par une intégration par parties, exprimer In+2 en fonction de In avec In+2 = intégrale de -oo à + oo de t^n e^(-t^2) dt"

Je me dis chouette alors, une intégration par parties c'est dans mes cordes et les fonctions ne sont pas trop compliquées... J'écris donc sur ma feuille, "On pose deux fonctions u et v de classe C1 sur R telles que
u(t) = t^n+2 , u'(t) = (n+2)t^(n+1)
v'(t) = e^(-t^2) , v (t) = - (1/2t) e^(-t^2)"

Or le corrigé, rédigé avec plein d'humour (ce qui est exaspérant plus qu'autre chose) écrit :
"On rappelle que personne sur la planète n'est capable d'exhiber une primitive élémentaire de t -> e^(-t^2). En revanche, t -> te^(-t^2)"

Alors là ça me dépasse lol ! :briques: Moi j'ai toujours été capable "d'exhiber une primitive élémentaire de t -> e^(-t^2)" en appliquant betement la formule "(e^u)' = u' e^u". De plus, cet aimable correcteur se permet d'exhiber une primitive élementaire de te^(-t^2) qui est bien - e^(-t^2)/2 . Moi je veux bien, mais comment il trouve cette primitive si dans sa tête il prétend ne pas connaître celle de e^(-t^2) ??

J'ai donc deux questions pour résumer :

1) Pourquoi "personne sur la planète n'est capable d'exhiber une primitive élémentaire de t -> e^(-t^2)" ? J'ai toujours cru que c'était - (1/2t) e^(-t^2). Pourquoi mon raisonnement est-il faux ?

2) Comment le correcteur fait-il pour trouver la primitive de te^(-t^2) sans connaître la primitive de e^(-t^2) ?

Voilà, mes questions sont peut-être d'une évidence complète mais je suis tellement nul en maths que je ne vois pas cette évidence !

Merci d'avance pour vos réponses

Florix

PS : ne serait-ce pas une blague stupide du correcteur pour se moquer des eleves incapables de calculer cette primitive ? C'est peut être ça mais j'avoue qu'après 2h de maths je n'ai plus l'esprit assez eveillé pour distinguer l'ironie de l'humour. Dans ce cas, pourquoi le correcteur a t'il le besoin de calculer te^(-t^2). Ne peut-il pas simplement passer par e^(-t^2) ?

[emdro]

Bonjour,

Question 1: Re-dérive honnêtement ta "primitive", et dis moi ce que tu obtiens (un indice, (uv)' n'est pas égal à u'v')

Question 2: t exp(-t²), c'est presque u'exp(u). Et ça, c'est la dérivée de quelque chose de connu...

[Florix]

Question 1 -> en effet lol, j'ai vraiment du mal pardon...

Question 2 -> il faudrait m'éclairer lol, j'insiste : JE SUIS ARCHI-NUL en maths ! J'arrive pas à me défaire de mon raisonnement...

[emdro]

Si tu dérives:
exp(u) tu as u' exp(u)

exp(t²) tu as donc 2t exp(t²)

Donc la dérivée de 1/2*exp(t²), c'est 1/2*2t exp(t²), donc pile t exp(t²).

Ca marche?

NB Je suis d'accord, l'humour des correcteurs, c'es souvent mal placé. Mais ce qu'il dit est juste!

[Florix]

Oui en effet, ma betise m'afflige :mur:

Si je comprends bien, à chaque fois qu'on doit trouver une primitive de exp(-t^2), on peut pas en fait, du coup, on récupère un t dans l'intégrale comme ici par exemple où l'on fait : t^n+2 exp(-t^2) = t^n+1 exp(-t^2). C'est toujours la manoeuvre à effectuer ?

Et si un jour on a juste exp(-t^2) comment on fait du coup ??

En tout cas merci pour cette aide lol :++:

(oui l'humour des correcteurs est vraiment .... hallucinant)

[emdro]

t^n+2 exp(-t^2) = t^n+1 *texp(-t^2).

Oui, c'est ça.

Et si tu n'as pas de t, eh bien on ne peut pas exprimer de primitive. Ca arrive pour des tas d'autres fonctions. On se débrouille autrement!

NB exp(-t²), c'est la gaussienne qui sert si souvent en statistiques et probabliltés. C'est une star des maths, c'est pour ça que nous savons qu'on ne peut pas exprimer de primitive.

[Florix]

Oui, c'est ça.

Et si tu n'as pas de t, eh bien on ne peut pas exprimer de primitive. Ca arrive pour des tas d'autres fonctions. On se débrouille autrement!

NB exp(-t²), c'est la gaussienne qui sert si souvent en statistiques et probabliltés. C'est une star des maths, c'est pour ça que nous savons qu'on ne peut pas exprimer de primitive.

Oui j'ai oublié de taper le t dans mon message...

Et oui en effet avec la fonction Gamma je devrais connaître tout cela !!!

Merci en tout cas pour cette aide, ça évitera que je fasse l'erreur à l'avenir !

Merci beaucoup :++:

Florix

[serge75]

Florix, mis à part ton erreur de calcul il ne faut pas que tu sois surpris par le fait que certaines primitives ne puissent s'exprimer à l'aide des fonctions usuelles.
Prenons un exemple, tu es en terminale, et ta 'collection' de fonctions usuelles est constituée des fractions rationnelles et des fonctions circulaire. Et patatras, tu tombes à ce moment là sur la primitive de 1/x qui s'annule en 1... On sait maintenant qu'il s'agit de ln, et jamais il n'a été possible d'exprimer ln à l'aide des fonctions précédentes.
De fait, il y a plein de fonctions définies par des primitives qui ne s'expriment pas à l'aide des fonctions usuelles, mais si la preuve en est compliquée.
Il est bon de connaître les plus courantes, afin d'éviter de se casser les dents sur un calcul de primitive qu'on ne saura mener.
Ainsi : sin(x)/x, exp(kx^2) avec k non nul, ln(x)/(1+x), exp(x)/x voient toutes leurs primitives qui ne s'expriment pas à l'aide des fonctions usuelles.
Serge