Intégrales multiples, bornes.

[Garion]

Bonjour,

en cette période d'examen, je bloques sur un problème.
J'aimerais calculer l'intégrale d'une fonction f continue sur D. D étant les y> ou = à 0 de l'intersection d'un disque centré à l'origine et de rayon a (a>0) avec un autre disque de même rayon mais cette fois centré en (a,0).

En utilisant les coordonnées cartésiennes, j'ai réussi à l'aide de deux doubles intégrales. En prenant x variant entre 0 et a/2 et y²+(x-a)²=a² et x entre a/2 et a avec x²+y²=a².

Mais je bloques avec les coordonnées polaires(x=r.cos(t), y=r.sin(t). Comment trouver les bornes dans lesquelles varient r et t?

Voila, merci beaucoup pour votre aide.
Bonne journée.

Garion

[Mathusalem]

Bonjour,

en cette période d'examen, je bloques sur un problème.
J'aimerais calculer l'intégrale d'une fonction f continue sur D. D étant les y> ou = à 0 de l'intersection d'un disque centré à l'origine et de rayon a (a>0) avec un autre disque de même rayon mais cette fois centré en (a,0).

En utilisant les coordonnées cartésiennes, j'ai réussi à l'aide de deux doubles intégrales. En prenant x variant entre 0 et a/2 et y²+(x-a)²=a² et x entre a/2 et a avec x²+y²=a².

Mais je bloques avec les coordonnées polaires(x=r.cos(t), y=r.sin(t). Comment trouver les bornes dans lesquelles varient r et t?

Voila, merci beaucoup pour votre aide.
Bonne journée.

Garion

Tu n'as pas un dessin de ce qe tu dis ? c'est un peu ésothérique comme ça

[Doraki]

Déjà, je pense que je mettrais l'origine de mon repère polaire en (a/2,0), pour pas gâcher d'éventuelles symétries dans le truc à intégrer et avoir des bornes moins ignobles.

[Ben314]

Mais je bloques avec les coordonnées polaires(x=r.cos(t), y=r.sin(t). Comment trouver les bornes dans lesquelles varient r et t

Si l'exercice t'impose les coordonnées polaires centrées en 0, il te suffit de traduire bétement les conditions sur x et y en conditions sur r et t :
1) y>=0 donne t entre 0 et Pi
2) x²+y² à a.

Si l'exercice ne t'impose pas le centre, alors tu as intérêt à faire ce que préconise Doraki, c'est à dire à prendre le centre en (a/2,0) : ce sera plus symétrique et il est clair que les deux "cas" seront alors t > ou < pi/2

[Garion]

Tout d'abord, un grand merci pour vos réponses.
Pour le point 3, j'ai donc :
(rcos t-a)² + r² sin²(t) <= a²
et cela donne r(r-2a.cos(t))<=0
et r<=0 et r<=2a cos(t).
Et puis je saisis pas trop comment il faut faire? On a donc
0<=t<=pi
r<=a et
r<=2a cos(t)
et le centre du repaire est en (0,0).


On m'a dit qu'il fallait faire + avec pour le premier termes t entre 0 et pi/3 et r entre 0 et a et pour le deuxième terme t entre pi/2 et pi/3 et r entre 0 et a..
Mais je ne vois pas d'où viennent ces bornes là.
Pourquoi pi/3 et pi/2? Pourquoi cos(2t)?

Bonne soirée

Garion

[Doraki]

On a bien 0 <= r <= a à cause du cercle de centre (0,0)
et 0 <= r <= 2acos(t) à cause du cercle de centre (a,0).

Pour quels angles t est-ce que c'est "r<=a" qui délimite le domaine, et pour quels angles est-ce que c'est "r<=2acos(t)" ?

Aussi, fais gaffe, dans l'intégrande, il faut f(...)*r*drdt t non f(...)*drdt

[Garion]

Ok, je crois que je commences à comprendre certains trucs qui étaient assez flous !
[quote="Doraki"]
Pour quels angles t est-ce que c'est "r=0)?

Et juste, pourquoi il faut mettre f(..) .r ? (pourquoi le r?).

Un grand merci pour votre aide.
Bonne soirée

Garion

[Doraki]

r<=a, c'est entre pi/2 et pi/3 car 2acos(t) est plus petit que a.

Le domaine c'est l'intersection des cercles, pas la réunion.
Entre pi/2 et pi/3, il faut
r <= a ET r <= 2acos(t).
2acos(t) <= a, donc c'est équivalent à simplement r <= 2acos(t).

Pour le r*dr*dt,
c'est parceque l'aire comprise dans la région R <= r <= R+dr et T <= t <= T+dt
vaut R*dr*dt quand dr et dt sont infiniment petits.

Quand tu as une intégrale simple sur dt et que tu dois faire un changement de variable t= f(u), il faut remplacer dt par f'(u)*du (ou (dt/du)*du).
Là c'est la même chose, avec le changement de variable (x,y) = (rcost,rsint)
ça déforme le plan et il faut le prendre en compte.

[Ben314]

Pour le r.drdt, le principe est le même que pour les changement de variables en dimension 1 : dans une intégrale (simple) en u, si tu pose u=phi(v) alors le du devient un phi'(v).dv
En dimension supérieure, c'est le déterminant de la matrice jacobienne (en valeur absolue) qui "joue le rôle" du phi'(v).
Le résultat "archi classique" (car on l'utilise trés souvent) est que, si on fait le changement de variables "coordonnées polaire" qui consiste à poser alors la matrice jacobienne est dont le déterminant est ce qui signifie que, pour ce changement de variable, on a .

Edit : Grillé par Doraki !!!

[Garion]

Ok pour le r. On ne pouvait pas mieux expliquer :++: .
Et ok aussi pour l'intersection et pas l'union.
Le problème est résolu et je vous remercie beaucoup .

Il me reste une dernière question. J'ai enfin réussi à trouver un correctif de l'exercice.
Ils trouvent les mêmes bornes mais au lieu de 2acos(t) ils ont 2+2cos(2t)). Il y a donc une autre méthode pour y arriver?
Ils parlent très brievement que cette borne est "déterminée par le 2ème point d'intersection entre la droite passant par l'origine et qui fait l'angle t avec l'axe X, et le cercle centré en (a,0)".

J'ai remarqué que ce point à comme coordonnées (a+acos(2t),asin(2t)).
Puis je dois faire l'équation du cercle avec ça et trouver des conditions sur t et r? (je l'ai fait et ça marche pas :mur: ).
Comment trouver cette deuxième borne?

Merci et bonne soirée

[Ben314]

Vu que cos(2t)=2cos²(t)-1, (car ) donc "ils" trouvent bien la même chose que toi.
"Ils" on effectivement peut être commencé par chercher l'intersection des deux cercles...

[Garion]

Ok, je vais laisser tomber cette deuxième méthode avec le point d'intersection.
Merci pour votre aide précieuse( Ben314 et Doraki) :).
Bonne fin de semaine

Garion

[busard_des_roseaux]

Bj,

le 1er disque est centré en O(0;0) de rayon a
son aire est


le 2ème disque est centré en A(a;0) de rayon a
son aire est

Le cercle a pour équation


en polaire




l'idée , c'est que la lunule (même forme que la lunule sous les ongles)
disque privé de a une forme radiale
qui s'exprime par son équation polaire




soient U et V les deux points d'intersection des cercles.
Les angles polaires de U et V sont et

les triangles OAU et OAV étant équilatéraux de côtés

d'où l'aire de la lunule vaut









l'intersection des deux disques a pour aire

où désigne l'aire de la lunule \

soit